Để chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên \( a \) và \( b \) chia hết cho \( 3 \) thì tổng các lập phương của chúng \( a^3 + b^3 \) chia hết cho \( 9 \), ta có thể làm như sau:

**Giả thiết**: \( a + b \equiv 0 \mod 3 \)

Điều này có nghĩa là:

- \( a + b = 3k \) cho một số nguyên \( k \).

**Sử dụng công thức tổng lập phương**:

Ta có công thức:

\[
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
\]

**Khảo sát phần còn lại của \( a \) và \( b \) khi chia cho \( 3 \)**:

- Có ba trường hợp cho phần dư của \( a \) và \( b \) khi chia cho \( 3 \):
1. Cả \( a \) và \( b \) đều chia hết cho \( 3 \) (cả hai đều \( 0 \mod 3 \)).
2. \( a \equiv 1 \mod 3 \) và \( b \equiv 2 \mod 3 \) (hoặc ngược lại).
3. \( a \equiv 2 \mod 3 \) và \( b \equiv 1 \mod 3 \) (hoặc ngược lại).

**Phân tích từng trường hợp**:

1. **Trường hợp 1**: \( a \equiv 0, b \equiv 0 \mod 3 \)
- \( a^3 \equiv 0 \mod 9 \)
- \( b^3 \equiv 0 \mod 9 \)
- \( a^3 + b^3 \equiv 0 + 0 \equiv 0 \mod 9 \)

2. **Trường hợp 2**: \( a \equiv 1 \mod 3 \) và \( b \equiv 2 \mod 3 \)
- \( a^3 \equiv 1 \mod 9 \)
- \( b^3 \equiv 8 \mod 9 \)
- \( a^3 + b^3 \equiv 1 + 8 \equiv 9 \equiv 0 \mod 9 \)

3. **Trường hợp 3**: \( a \equiv 2 \mod 3 \) và \( b \equiv 1 \mod 3 \)
- Tương tự như ở trường hợp 2:
- \( a^3 \equiv 8 \mod 9 \)
- \( b^3 \equiv 1 \mod 9 \)
- \( a^3 + b^3 \equiv 8 + 1 \equiv 9 \equiv 0 \mod 9 \)

**Kết luận**:

Trong cả ba trường hợp, ta thấy rằng \( a^3 + b^3 \equiv 0 \mod 9 \).

Do đó, ta đã chứng minh được rằng nếu tổng của hai số nguyên \( a \) và \( b \) chia hết cho \( 3 \), thì tổng các lập phương của chúng \( a^3 + b^3 \) chia hết cho \( 9 \).