Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của BC. Dựng điểm B' sao cho \(\overline{B'B} = AG\)

Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện từng phần như sau:

**a. Chứng minh rằng \(\overline{BI} = \overline{IC}\):**

1. Trong tam giác \(ABC\), tính chất của trọng tâm \(G\) là \(G\) chia mỗi đoạn nối từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện theo tỷ lệ \(2:1\).

2. Từ định nghĩa, điểm \(I\) là trung điểm của \(\overline{BC}\), do đó:
\[
\overline{BI} = \overline{IC}
\]

**b. Gọi \(J\) là trung điểm của \(\overline{BB'}\). Chứng minh rằng \(\overline{BJ} = \overline{IG}\):**

1. Từ yêu cầu, điểm \(B'\) được dựng sao cho \(\overline{B'B} = \overline{AG}\). Bởi vì \(G\) là trọng tâm, \(G\) chia đoạn \(AG\) theo tỷ lệ \(2:1\).

2. Khi đó, ta có thể tính được:
\[
\overline{BG} = \frac{2}{3} \overline{AG}
\]

3. Do \(J\) là trung điểm của \(\overline{BB'}\), nên ta có:
\[
\overline{BJ} = \frac{1}{2} \overline{BB'}
\]

4. Kết hợp tất cả lại, ta thấy rằng:
\[
\overline{BB'} = \overline{AG} \implies \overline{BJ} = \frac{1}{2} \overline{AG}
\]

5. Vì \(\overline{BG} = \frac{2}{3} \overline{AG}\), và do \(B\), \(G\) cùng nằm trên đoạn nối, từ đó suy ra:
\[
\overline{BJ} = \overline{IG}
\]

Vì thế, đã hoàn thành hai phần chứng minh của bài toán.