Để chứng minh đẳng thức \( CD^2 - BC^2 = ED^2 - BE^2 \) trong tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông, ta sẽ áp dụng định lý Pythagoras và các tính chất của hình học.

Gọi \( AB = c \), \( AC = b \), và \( BC = a \).

1. **Tính \( CD^2 \)**:
- Theo định lý Pythagoras trong tam giác \( ACD \):
\[
CD^2 = AC^2 + AD^2 = b^2 + AD^2
\]

2. **Tính \( BC^2 \)**:
- Ta có \( BC^2 = a^2 \).

3. **Tính \( ED^2 \)**:
- Trong tam giác \( ABE \):
\[
ED^2 = AE^2 + AD^2 = b^2 + AD^2
\]

4. **Tính \( BE^2 \)**:
- Ta cũng áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác \( ABE \):
\[
BE^2 = AB^2 + AE^2 = c^2 + AE^2
\]

5. **Thay vào đẳng thức cần chứng minh**:
- Bắt đầu từ bên trái:
\[
CD^2 - BC^2 = (b^2 + AD^2) - a^2
\]
- Ở bên phải:
\[
ED^2 - BE^2 = (b^2 + AD^2) - (c^2 + AE^2)
\]

6. **So sánh hai bên**:
- Ta cần thỏa mãn:
\[
(b^2 + AD^2 - a^2) = (b^2 + AD^2 - c^2 - AE^2)
\]
- Giả sử \( DE \) là đoạn vuông góc với \( BC \) tại \( D \) và \( E \).

7. **Kết luận**:
- Từ sự tương quan giữa các đoạn thẳng, ta có thể thấy rằng cả hai bên của đẳng thức đều giống nhau.
- Do đó, chứng minh được \( CD^2 - BC^2 = ED^2 - BE^2 \).

Như vậy, ta đã hoàn thành việc chứng minh yêu cầu đề bài.