Để giải bài toán này, chúng ta có các phương trình:

\[
x + y = z
\]
\[
x - y = 3z
\]

### Bước 1: Tìm giá trị của \(x\), \(y\), và \(z\)

Từ \(x + y = z\), ta có \(y = z - x\).

Thay thế \(y\) vào phương trình thứ hai:

\[
x - (z - x) = 3z
\]
\[
x - z + x = 3z
\]
\[
2x - z = 3z
\]
\[
2x = 4z \implies x = 2z
\]

Với \(x = 2z\), thế vào phương trình \(y = z - x\):

\[
y = z - 2z = -z
\]

Vậy chúng ta có:

\[
x = 2z, \quad y = -z
\]

### Bước 2: Tính giá trị biểu thức \(P\)

Biểu thức \(P\) là:

\[
P = \frac{z + 2y - z}{3x + 4y}
\]

Thay \(x\) và \(y\) vào biểu thức:

\[
P = \frac{z + 2(-z) - z}{3(2z) + 4(-z)} = \frac{z - 2z - z}{6z - 4z} = \frac{-2z}{2z} = -1
\]

### Bước 3: Tính giá trị biểu thức \(Q\)

Biểu thức \(Q\) là:

\[
Q = \frac{z^2 - 2y^2 - y^2}{x^2 + y^2 + z^2}
\]

Thay \(x\) và \(y\):

\[
Q = \frac{z^2 - 2(-z)^2 - (-z)^2}{(2z)^2 + (-z)^2 + z^2}
\]
\[
= \frac{z^2 - 2z^2 - z^2}{4z^2 + z^2 + z^2}
\]
\[
= \frac{-2z^2}{6z^2} = -\frac{1}{3}
\]

### Kết quả cuối cùng

Vậy:

\[
P = -1 \quad \text{và} \quad Q = -\frac{1}{3}
\]