Để giải phương trình \( xy - 3x + 2y = 5 \), ta có thể biến đổi phương trình này như sau:

1. **Tái cấu trúc phương trình**:
\[
xy - 3x + 2y - 5 = 0
\]
Điều này có thể được viết lại theo dạng:
\[
xy + 2y - 3x - 5 = 0
\]

2. **Nhóm lại**:
\[
y(x + 2) - 3x - 5 = 0
\]

3. **Giải cho \( y \)**:
\[
y(x + 2) = 3x + 5
\]
\[
y = \frac{3x + 5}{x + 2}
\]

4. **Xét điều kiện cho \( y \) là số nguyên**:
Để \( y \) là số nguyên, \( 3x + 5 \) phải chia hết cho \( x + 2 \). Ta sẽ kiểm tra điều này bằng cách sử dụng định lý phân số.

5. **Áp dụng nguyên tắc chia**:
Đặt \( k = x + 2 \), thì \( x = k - 2 \). Thay vào biểu thức của \( y \):
\[
y = \frac{3(k - 2) + 5}{k} = \frac{3k - 6 + 5}{k} = \frac{3k - 1}{k} = 3 - \frac{1}{k}
\]
Để \( y \) là số nguyên, \( \frac{1}{k} \) cũng phải là một số nguyên. Điều này chỉ xảy ra khi \( k = \pm 1 \).

6. **Giải các trường hợp**:
- **Trường hợp 1**: \( k = 1 \) → \( x + 2 = 1 \) → \( x = -1 \)
\[
y = 3 - \frac{1}{1} = 2
\]
Giải nghiệm: \( (x, y) = (-1, 2) \)

- **Trường hợp 2**: \( k = -1 \) → \( x + 2 = -1 \) → \( x = -3 \)
\[
y = 3 - \frac{1}{-1} = 3 + 1 = 4
\]
Giải nghiệm: \( (x, y) = (-3, 4) \)

7. **Kết luận**:
Các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình đã cho là:
\[
(x, y) = (-1, 2) \quad \text{và} \quad (x, y) = (-3, 4)
\]