Cho tam giác ABC nhọn có đường trung tuyến AM. Trên AM lấy N bất kì; MN cắt AC tại Q và cắt CN tại P. Chứng minh PQ // BC

Để chứng minh rằng PQ // BC, ta sẽ sử dụng tính chất của đường trung tuyến và một số tính chất trong tam giác.

1. **Đặt hệ tọa độ**: Đặt A(0, 0), B(b, 0) và C(c, h) trong hệ tọa độ. Khi đó, M là trung điểm của BC, có tọa độ M\(\left(\frac{b+c}{2}, \frac{h}{2}\right)\).

2. **Tìm phương trình của AM**: Phương trình của đường thẳng AM được xác định bởi 2 điểm A và M:
- Độ dốc của AM là \(\frac{\frac{h}{2} - 0}{\frac{b+c}{2} - 0} = \frac{h}{b+c}\).
- Phương trình của đường thẳng AM có dạng:
\[
y = \frac{h}{b+c}x.
\]

3. **Tìm tọa độ điểm N**: Giả sử N thuộc AM nên có tọa độ N\((x_N, y_N)\) với \(y_N = \frac{h}{b+c}x_N\).

4. **Phương trình đường thẳng MN**: Từ N tới M, ta có phương trình MN:
- Độ dốc của MN là \(\frac{\frac{h}{2} - y_N}{\frac{b+c}{2} - x_N}\).
- Phương trình MN trở thành:
\[
y - y_N = \frac{\frac{h}{2} - y_N}{\frac{b+c}{2} - x_N}(x - x_N).
\]

5. **Tìm giao điểm Q của MN với AC**:
- Phương trình của AC: Tính độ dốc giữa A và C là \(\frac{h}{c}\) nên phương trình của AC là:
\[
y = \frac{h}{c}x.
\]

6. **Tìm giao điểm P của MN với CN**:
- Phương trình của CN (giữa C và N) cũng có thể tính toán tương tự.

7. **Chứng minh PQ // BC**:
- Để chứng minh PQ // BC, ta sẽ so sánh độ dốc của hai đường PQ và BC.
- Độ dốc của BC là \(\frac{h}{c-b}\).
- Sử dụng tính chất tỷ lệ giữa các đoạn thẳng và tính chất hai tam giác tương đương (do cùng nằm trên các đường thẳng song song), ta sẽ chứng minh rằng độ dốc của PQ bằng độ dốc của BC, mà từ đó suy ra PQ // BC.

Tóm lại, bằng cách phân tích tọa độ và các phương trình đường thẳng liên quan đến tam giác và đường trung tuyến, ta có thể chứng minh rằng PQ // BC.