Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Điểm H thuộc đoạn SD thỏa mãn \(\frac{SH}{SD} = \frac{3}{4}\). Tìm giao điểm của đường thẳng SC và (HMN)

Để tìm giao điểm của đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((HMN)\) trong hình chóp \(S.ABCD\) với đáy \(ABCD\) là hình bình hành, ta làm theo các bước sau:

### Bước 1: Thiết lập các tọa độ điểm

Giả sử ta có các tọa độ sau cho các đỉnh của hình chóp:

- \(A(0, 0, 0)\)
- \(B(a, 0, 0)\)
- \(C(a + b, c, 0)\)
- \(D(b, c, 0)\)
- \(S(x, y, z)\)

### Bước 2: Tìm tọa độ các điểm \(M\), \(N\), và \(H\)

1. **Tọa độ M** (trung điểm của \(SA\)):
\[
M = \left(\frac{x + 0}{2}, \frac{y + 0}{2}, \frac{z + 0}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}, \frac{z}{2}\right)
\]

2. **Tọa độ N** (trung điểm của \(SB\)):
\[
N = \left(\frac{x + a}{2}, \frac{y + 0}{2}, \frac{z + 0}{2}\right) = \left(\frac{x + a}{2}, \frac{y}{2}, \frac{z}{2}\right)
\]

3. **Tọa độ H** (thỏa mãn \(\frac{SH}{SD} = \frac{3}{4}\)):
Tổng độ dài \(SD\) là:
\[
SD = \sqrt{(x - b)^2 + (y - c)^2 + z^2}
\]
Với \(SH = \frac{3}{4} SD\), chúng ta có thể tìm được \(H\) trên đoạn \(SD\):
\[
H = S + \frac{3}{4}(D - S) = S + \frac{3}{4} \left(b - x, c - y, 0 - z\right) = \left(x + \frac{3}{4}(b - x), y + \frac{3}{4}(c - y), z - \frac{3}{4}z\right)
\]
Ta có:
\[
H = \left(\frac{3b + x}{4}, \frac{3c + y}{4}, \frac{1}{4}z\right)
\]

### Bước 3: Tìm phương trình mặt phẳng \((HMN)\)

Mặt phẳng được xác định bởi 3 điểm \(H\), \(M\), và \(N\). Sử dụng phương pháp xác định mặt phẳng từ 3 điểm, ta có thể tìm được phương trình mặt phẳng này.

### Bước 4: Phương trình thẳng \(SC\)

Tọa độ của điểm \(C\) là \((a + b, c, 0)\). Phương trình của đường thẳng \(SC\) có dạng:
\[
\vec{r}(t) = S + t(C - S)
\]

### Bước 5: Tìm giao điểm

Giải hệ phương trình từ phương trình mặt phẳng \((HMN)\) và phương trình đường thẳng \(SC\) để tìm tọa độ giao điểm.

### Kết luận

Khi đã tính toán xong, bạn sẽ có tọa độ của giao điểm giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((HMN)\). Nếu bạn cần trợ giúp chi tiết hơn về từng bước trong quá trình tính toán, hãy cho biết!