Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AD, từ D kẻ DE vuông góc với AC, DF vuông góc với AB. Cm: AF.AB = AE.AC

Để chứng minh rằng \( AF \cdot AB = AE \cdot AC \) trong tam giác vuông \( ABC \) (với \( A \) là góc vuông), chúng ta có thể sử dụng tính chất của hình học.

1. **Giả thiết và ký hiệu**:
- Gọi \( AB = c \), \( AC = b \), \( BC = a \).
- \( D \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- \( DE \) vuông góc với \( AC \) và \( DF \) vuông góc với \( AB \).

2. **Sử dụng định nghĩa về tỉ lệ trong tam giác vuông**:
- Trong tam giác vuông tại \( A \):
- Hình chiếu của \( AB \) lên \( AC \) là \( AE \).
- Hình chiếu của \( AC \) lên \( AB \) là \( AF \).

3. **Áp dụng định lý Pythagore**:
- Đường cao \( AD \) chia tam giác thành 2 tam giác vuông \( ADB \) và \( ADC \).
- Từ định lý Pythagore:
\[
AD^2 = AB \cdot AC = c \cdot b
\]

4. **So sánh tỉ số**:
- Trong tam giác \( ADF \):
\[
AF = \frac{AD}{c} \quad (\text{theo tỉ lệ của các cạnh})
\]
- Trong tam giác \( ADE \):
\[
AE = \frac{AD}{b} \quad (\text{theo tỉ lệ của các cạnh})
\]

5. **Chứng minh tỉ lệ**:
- Multiplying both expressions by the common lengths \( AB \) and \( AC \):
\[
AF \cdot AB = \frac{AD}{c} \cdot c = AD
\]
\[
AE \cdot AC = \frac{AD}{b} \cdot b = AD
\]

6. **Kết luận**:
- Từ 2 kết quả trên, suy ra:
\[
AF \cdot AB = AE \cdot AC
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( AF \cdot AB = AE \cdot AC \) trong tam giác vuông \( ABC \) với đường cao \( AD \) và các hình chiếu như đã nêu.