Cho hình bình hành ABCD có AB= 2.BC. Gọi E và K lần lượt là trung điểm của CD và AB; BD cắt AC tại O

Để giải bài toán, chúng ta sẽ đi từng phần một :

### a) Tứ giác AECK là hình bình hành.

**Chứng minh:**
- Ta có hình bình hành ABCD với AB = 2.BC. Giả sử BC = a, thì AB = 2a.
- Do đó, ta có chiều dài các cạnh như sau:
- AB = 2a
- BC = a
- CD = AB = 2a (do ABCD là hình bình hành)
- DA = BC = a.

- K là trung điểm của AB, E là trung điểm của CD. Theo định nghĩa, ta có:
- AK = KB = a (K là trung điểm của AB)
- CE = ED = a (E là trung điểm của CD).

- Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh rằng các cặp cạnh AE và CK song song và bằng nhau, cũng như các cặp cạnh AK và EC cũng song song và bằng nhau.

1. **AE // CK và AE = CK**:
- AE = CE = a (do E là trung điểm của CD).
- Do đó, AE = CK.

2. **AK // EC và AK = EC**:
- AK = KB = a (do K là trung điểm của AB).
- EC = ED = a (do E là trung điểm của CD).
- Do đó, AK = EC.

Vì vậy, AECK có hai cặp cạnh đối diện vừa bằng nhau vừa song song, do vậy AECK là hình bình hành.

### b) Tứ giác BKEC là hình gì? Vì sao?

**Tứ giác BKEC là hình thang.**

**Chứng minh:**
- Xét hai cặp cạnh:
- BK và EC: BK = a (do K là trung điểm của AB), EC = a (do E là trung điểm của CD). Do đó BK // EC.
- BE và KC đều không song song với nhau, do đó tứ giác BKEC có một cặp cạnh đối diện song song.

Vì vậy, tứ giác BKEC là hình thang.

### c) Chứng minh ba đường thẳng AC, EK, BD đồng quy.

**Chứng minh:**
- Ta xét hình bình hành ABCD với các điểm đã cho.

1. Gọi \( M \) là giao điểm của hai đường thẳng EK và BD.
2. Ta sẽ chứng minh rằng M nằm trên đường thẳng AC.
3. Ta có:
- Dựa vào các tính chất của hình bình hành, ta biết rằng hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của chúng.

4. Bây giờ, ta hãy xem xét điểm K và điểm E:
- K là trung điểm của AB và E là trung điểm của CD.
- Theo định nghĩa, \( K \) và \( E \) chia hai đoạn AC và BD thành hai phần bằng nhau.

5. Vì tứ giác AECK là hình bình hành, nên đường chéo AC cũng sẽ chia các tứ giác thành các phần bằng nhau và sẽ đồng quy tại điểm O.

Vậy AC, EK, và BD đồng quy tại một điểm chung \( O \).

## Kết luận
- AECK là hình bình hành, BKEC là hình thang, và ba đường thẳng AC, EK, BD đồng quy tại một điểm O.