Chứng minh rằng đa thức f(x) = 2025 không có nghiệm nguyên

Chúng ta cần chứng minh rằng đa thức \( f(x) = 2025 \) không có nghiệm nguyên. Theo giả thiết, đa thức \( f(x) \) có các hệ số nguyên thoả mãn rằng \( f(a) = f(b) = f(c) = 2024 \) với \( a, b, c \) là các số nguyên đôi một khác nhau.

Từ điều kiện trên, ta có:
\[
f(a) - 2024 = 0,
\]
\[
f(b) - 2024 = 0,
\]
\[
f(c) - 2024 = 0.
\]
Điều này có thể được viết lại thành một đa thức:
\[
f(x) - 2024 = k (x - a)(x - b)(x - c)
\]
với \( k \) là một số nguyên. Nếu \( f(x) - 2024 = k (x - a)(x - b)(x - c) \), thì khi \( x \) là một trong ba giá trị \( a, b, c \), \( f(x) \) bằng \( 2024 \).

Ta muốn chứng minh rằng \( f(x) = 2025 \) không có nghiệm nguyên, tức là không tồn tại số nguyên \( x \) sao cho \( f(x) = 2025 \).

Giả sử rằng tồn tại một số nguyên \( x_0 \) sao cho \( f(x_0) = 2025 \). Khi đó ta có:
\[
f(x_0) - 2024 = 2025 - 2024 = 1.
\]
Áp dụng công thức của chúng ta, ta có:
\[
k (x_0 - a)(x_0 - b)(x_0 - c) = 1.
\]

Vì \( k \) là một số nguyên và \( (x_0 - a)(x_0 - b)(x_0 - c) \) là tích của ba số nguyên, tích này cũng phải là nguyên. Do đó \( k(x_0 - a)(x_0 - b)(x_0 - c) \) sẽ là một số nguyên.

Vì \( k (x_0 - a)(x_0 - b)(x_0 - c) = 1 \) cho thấy \( k \) có thể là \( 1 \) hoặc \( -1 \), và nghĩa vụ cho rằng \( (x_0 - a)(x_0 - b)(x_0 - c) \) tự nó cũng sẽ là \( 1 \) hoặc \( -1 \).

Nếu \( k = 1 \), thì:
\[
(x_0 - a)(x_0 - b)(x_0 - c) = 1.
\]

Nếu \( k = -1 \), thì:
\[
(x_0 - a)(x_0 - b)(x_0 - c) = -1.
\]

Trong cả hai trường hợp, \( (x_0 - a)(x_0 - b)(x_0 - c) \) là một tích của ba số nguyên không đồng nhất lần lượt cho \( k \). Tuy nhiên, một tích của ba số nguyên chỉ có thể bằng \( 1 \) hoặc \( -1 \) là khá giới hạn.

Chúng ta thấy rằng không có một tập \( (x_0 - a), (x_0 - b), (x_0 - c) \) trong các số nguyên mà thỏa mãn điều kiện này mà lại cho ra số hạng có thể bằng \( 1 \) trong cả hai trường hợp cùng lúc mà không xảy ra xung đột.

Vì vậy, điều này dẫn chúng ta đến kết luận rằng giả sử về sự tồn tại một nghiệm nguyên cho \( f(x) = 2025 \) là sai. Do đó, ta chứng minh được rằng đa thức \( f(x) = 2025 \) không có nghiệm nguyên.