Để giải phương trình \(2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} + \ldots + 2^{x+2020} = 2^{2024} - 8\), ta bắt đầu bằng việc sử dụng công thức tổng cấp số nhân.

Tổng \(2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} + \ldots + 2^{x+2020}\) có thể được viết lại như sau:

\[
S = 2^x (1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{2020})
\]

Tổng bên trong là một tổng cấp số nhân với số hạng đầu là 1, số hạng cuối là \(2^{2020}\), và có \(2021\) hạng. Công thức tổng của cấp số nhân là:

\[
\text{Tổng} = a \frac{q^n - 1}{q - 1}
\]

Trong đó \(a\) là số hạng đầu (1), \(q\) là công bội (2), và \(n\) là số lượng hạng (2021):

\[
1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{2020} = \frac{2^{2021} - 1}{2 - 1} = 2^{2021} - 1
\]

Vậy tổng \(S\) trở thành:

\[
S = 2^x (2^{2021} - 1)
\]

Do đó, phương trình ban đầu trở thành:

\[
2^x (2^{2021} - 1) = 2^{2024} - 8
\]

Ta có thể viết lại \(8\) là \(2^3\), nên phương trình trở thành:

\[
2^x (2^{2021} - 1) = 2^{2024} - 2^3
\]

Nhận thấy rằng:

\[
2^{2024} - 2^3 = 2^3(2^{2021} - 1)
\]

Thay vào phương trình, ta có:

\[
2^x (2^{2021} - 1) = 2^3 (2^{2021} - 1)
\]

Nếu \(2^{2021} - 1 \neq 0\), ta có thể chia cả hai bên cho \(2^{2021} - 1\):

\[
2^x = 2^3
\]

Do đó:

\[
x = 3
\]

Vậy số tự nhiên \(x\) cần tìm là:

\[
\boxed{3}
\]