Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần tìm hàm số \( f(x) \) từ đạo hàm \( f'(x) = 12x + 2 \).

Bước 1: Tính tích phân của \( f'(x) \).

\[
f(x) = \int (12x + 2) \, dx = 6x^2 + 2x + C
\]

Trong đó \( C \) là hằng số chưa biết.

Bước 2: Sử dụng điều kiện \( f(1) = 3 \) để tìm \( C \).

\[
f(1) = 6(1)^2 + 2(1) + C = 6 + 2 + C = 8 + C
\]
Đặt \( 8 + C = 3 \), ta có:

\[
C = 3 - 8 = -5
\]

Vậy, hàm số là:

\[
f(x) = 6x^2 + 2x - 5
\]

Bước 3: Tính nguyên hàm \( F(x) \) của \( f(x) \).

\[
F(x) = \int f(x) \, dx = \int (6x^2 + 2x - 5) \, dx
\]

Tính tích phân:

\[
F(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + D
\]

Trong đó \( D \) là hằng số còn lại.

Bước 4: Sử dụng điều kiện \( F(0) = 2 \) để tìm \( D \).

\[
F(0) = 2(0)^3 + (0)^2 - 5(0) + D = D
\]
Do đó, \( D = 2 \).

Vậy nguyên hàm là:

\[
F(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + 2
\]

Bước 5: Tính giá trị \( F(1) \).

\[
F(1) = 2(1)^3 + (1)^2 - 5(1) + 2 = 2 + 1 - 5 + 2 = 0
\]

Cuối cùng, giá trị cần tìm là:

\[
\boxed{0}
\]