Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm \( f(x) = \frac{1}{2x-1} \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tính nguyên hàm

Nguyên hàm của \( f(x) \) là:

\[
F(x) = \int f(x) \, dx = \int \frac{1}{2x-1} \, dx
\]

Sử dụng biến đổi:

\[
u = 2x - 1 \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}
\]

Điều này biến đổi tích phân thành:

\[
F(x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln |2x-1| + C
\]

### Bước 2: Xác định hằng số \( C \)

Ta có điều kiện \( F(1) = 0 \):

\[
F(1) = \frac{1}{2} \ln |2(1) - 1| + C = \frac{1}{2} \ln |1| + C = \frac{1}{2} \cdot 0 + C = C
\]

Vì \( F(1) = 0 \), nên:

\[
C = 0
\]

Nên \( F(x) \) trở thành:

\[
F(x) = \frac{1}{2} \ln |2x - 1|
\]

### Bước 3: Tính \( F(5) \)

Giờ, ta thay \( x = 5 \) vào công thức của \( F(x) \):

\[
F(5) = \frac{1}{2} \ln |2(5) - 1| = \frac{1}{2} \ln |10 - 1| = \frac{1}{2} \ln |9| = \frac{1}{2} \ln 9
\]

### Kết luận

Vậy \( F(5) \) là:

\[
F(5) = \frac{1}{2} \ln 9
\]

Ngoài ra, có thể viết lại là:

\[
F(5) = \frac{1}{2} \ln 3^2 = \ln 3
\]

### Đáp án:

\[
F(5) = \frac{1}{2} \ln 9 \quad \text{hoặc} \quad \ln 3
\]