Để tính \( F(1) \) từ hàm số \( f(x) = e^x - 2x + 1 \), trước tiên ta cần tìm nguyên hàm \( F(x) \).

1. **Tìm nguyên hàm \( F(x) \)**:
\[
F(x) = \int (e^x - 2x + 1) \, dx
\]
- Nguyên hàm của \( e^x \) là \( e^x \).
- Nguyên hàm của \( -2x \) là \( -x^2 \).
- Nguyên hàm của \( 1 \) là \( x \).

Do đó, ta có:
\[
F(x) = e^x - x^2 + x + C
\]
với \( C \) là hằng số.

2. **Tìm hằng số \( C \)** bằng cách sử dụng điều kiện \( F(0) = 2 \):
\[
F(0) = e^0 - 0^2 + 0 + C = 1 + C
\]
Đặt \( 1 + C = 2 \):
\[
C = 1
\]

Vậy, \( F(x) = e^x - x^2 + x + 1 \).

3. **Tính giá trị \( F(1) \)**:
\[
F(1) = e^1 - 1^2 + 1 + 1 = e - 1 + 1 + 1 = e + 1
\]
Sử dụng giá trị gần đúng của \( e \) là khoảng \( 2.718 \):
\[
F(1) \approx 2.718 + 1 \approx 3.718
\]

4. **Làm tròn kết quả**:
Giá trị \( F(1) \) làm tròn đến hai chữ số thập phân là \( 3.72 \).

Vậy, giá trị \( F(1) \) là **3.72**.