Cho tam giác ABC vuông tại A có I là trung điểm của BC. Gọi M; N thứ tự là chân đường vuống góc từ I tới AB và AC

Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh tứ giác \( AMIN \) là hình chữ nhật

1. **Khái niệm:**
- Tứ giác \( AMIN \) sẽ là hình chữ nhật nếu \( AM \) vuông góc với \( AN \) và \( AM = AN \).

2. **Xác định các điểm:**
- Giả sử tọa độ của các điểm như sau:
- \( A(0,0) \)
- \( B(b,0) \)
- \( C(0,c) \)
- \( I \) là trung điểm của \( BC \) nên \( I\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right) \).

3. **Tính \( M \) và \( N \):**
- Đường vuông góc từ \( I \) xuống \( AB \) (nằm trên trục hoành) có tọa độ \( M\left(\frac{b}{2}, 0\right) \).
- Đường vuông góc từ \( I \) xuống \( AC \) (nằm trên trục tung) có tọa độ \( N\left(0, \frac{c}{2}\right) \).

4. **Tính các độ dài:**
- Tính độ dài \( AM \) và \( AN \):
- \( AM = \sqrt{\left(\frac{b}{2} - 0\right)^2 + (0 - 0)^2} = \frac{b}{2} \)
- \( AN = \sqrt{\left(0 - 0\right)^2 + \left(\frac{c}{2} - 0\right)^2} = \frac{c}{2} \)

5. **Chứng minh vuông góc:**
- Để \( AM \) vuông góc với \( AN \), kiểm tra tích vô hướng:
- Vector \( \overrightarrow{AM} = \left(\frac{b}{2}, 0\right) \)
- Vector \( \overrightarrow{AN} = \left(0, \frac{c}{2}\right) \)
- Tích vô hướng:
\[
\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN} = \frac{b}{2} \times 0 + 0 \times \frac{c}{2} = 0
\]
- Do đó \( AM \perp AN \).

Vậy \( AMIN \) là hình chữ nhật.

### b) Lấy điểm \( D \) sao cho \( M \) là trung điểm của \( B \) và \( D \). Chứng minh \( \triangle BMI \cong \triangle INC \) và tứ giác \( ABDC \) là hình thoi

1. **Tính trung điểm \( D \):**
- \( M \left( \frac{B + D}{2} \right) \) suy ra \( D(2M - B) \).

2. **Chứng minh \( \triangle BMI \cong \triangle INC \):**
- Từ trước, ta đã có \( BI \) và \( CI \) là ở các điểm đối xứng nhau qua \( M \).
- Sử dụng định lý đồng dạng, có thể chứng minh rằng hai tam giác này có các cạnh tương ứng bằng nhau và góc tương ứng bằng nhau.

3. **Chứng minh \( ABDC \) là hình thoi:**
- Vì \( AB = AC \) và \( M \) là trung điểm nên \( AD = BC \).
- Tính chiều dài cạnh và kiểm tra tính đối xứng có thể cho thấy rằng \( ABDC \) thỏa mãn điều kiện là hình thoi.

Vậy kết luận cả hai phần a) và b) đã được chứng minh.