Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AC. Trên tia đối của tia MN lấy điểm E sao cho EN = MN

Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một.

**a. Tứ giác MNBC là hình gì và vì sao?**

Tứ giác MNBC sẽ là hình bình hành. Ta có thể chứng minh điều này như sau:

- M là trung điểm của AD và N là trung điểm của AC, theo tính chất của trung điểm, ta có:
- \( AM = MD \) (1)
- \( AN = NC \) (2)

- Trong tam giác ABC, nếu nó cân tại A thì:
- \( AB = AC \)

- Gọi \( O \) là giao điểm của đường chéo MB và NC, khi đó:
- \( OM = ON \) do M, N là trung điểm, và \( MB \parallel NC \)

Vì vậy, tứ giác MNBC là hình bình hành.

**b. Chứng minh \( BN = AE \)**

Để chứng minh \( BN = AE \):
- Ta có \( EN = MN \) (theo giả thiết).
- Từ tứ giác MNBC là hình bình hành, ta có \( MN \parallel BC \) và \( MB \parallel NC \).
- Do đó, \( BN = MN \).

Và từ \( EN = MN \), ta có \( BN = EN \).

=> Vậy \( BN = AE \).

**c. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCE là hình chữ nhật.**

Tứ giác AMCE là hình chữ nhật khi và chỉ khi:
- Hai đường chéo AC và ME vuông góc với nhau.

- Để điều này xảy ra, ta cần có điều kiện là \( \angle AME = 90^\circ \).

1. Ta cần xác định độ dài và góc của các cạnh trong tam giác ABC.
2. Do tam giác ABC cân tại A, khi đó độ dài các cạnh AB và AC bằng nhau.
3. M là trung điểm của AD, N là trung điểm của AC.

**Điều kiện hình chữ nhật:**
- Xác định độ dài của AC và độ dài của AM:
\[ AC = c \quad (c là độ dài của cạnh AC) \]
\[ AM = \frac{c}{2} \]
- Để AMCE là hình chữ nhật, \( AC \perp ME \) cần kiểm tra điều kiện sao cho \( \angle AME = 90^\circ \)

Điều kiện này cho chúng ta vài thông tin để tìm góc trong tam giác và mối quan hệ cạnh bên. Thông qua các phép đo góc và độ dài, có thể tìm ra cụ thể điều kiện cho trường hợp này.

Kết hợp trên, chúng ta có thể thu được điều kiện mà làm cho tứ giác AMCE là hình chữ nhật là:
- \( BC \perp AM \) (để không chỉ có các cạnh mà còn góc vuông) và/hoặc
- Ràng buộc thích hợp về độ dài cạnh như \( \angle BAC = 90^\circ \).

Tóm lại:
- Tứ giác MNBC là hình bình hành.
- BN = AE.
- Điều kiện cho tứ giác AMCE là hình chữ nhật là \( AC \perp ME \).