Cho hai số hữu tỉ \( \frac{a}{b} \) và \( \frac{c}{d} \) (b > 0; d > 0). Chúng mình chứng minh rằng nếu \( \frac{a}{b} < \frac{c}{d} \) thì \( \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d} \)

Để chứng minh rằng nếu \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\), thì \(\frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}\), ta thực hiện theo các bước sau:

1. **Bắt đầu từ giả thiết**: Ta biết rằng \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\).

2. **Chuyển đổi ra dạng bất đẳng thức**:
\[
\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \implies ad < bc
\]

3. **Áp dụng bất đẳng thức với phân số mới**:
Ta cần chứng minh rằng:
\[
\frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}
\]

Điều này có nghĩa là:
\[
(a+c)d < (b+d)c
\]

4. **Mở rộng và đơn giản hóa**:
Từ bất đẳng thức trên, ta có:
\[
ad + cd < bc + dc
\]
Rút gọn, ta có:
\[
ad < bc
\]

Điều này đã được chúng ta chứng minh ở bước 2, vì vậy ta có thể kết luận rằng:
\[
\frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}
\]

5. **Kết luận**:
Vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) thì \(\frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}\).

Điều này hoàn thành bài toán.