Để giải bài toán, trước tiên chúng ta sẽ chuyển đổi thời gian 6 giờ 40 phút sang giờ:

\[
6 \text{ giờ } 40 \text{ phút} = 6 + \frac{40}{60} = 6 + \frac{2}{3} = \frac{20}{3} \text{ giờ}.
\]

Gọi thời gian hoàn thành công việc của công nhân thứ nhất là \( x \) giờ, thì thời gian hoàn thành công việc của công nhân thứ hai sẽ là \( x + 3 \) giờ.

Tốc độ làm việc của công nhân thứ nhất là \( \frac{1}{x} \) công việc/giờ và tốc độ làm việc của công nhân thứ hai là \( \frac{1}{x + 3} \) công việc/giờ. Khi cả hai công nhân cùng làm việc, tổng tốc độ của họ là:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3}.
\]

Theo đề bài, khi cả hai làm việc cùng nhau thì họ hoàn thành công việc trong \( \frac{20}{3} \) giờ, do đó có:

\[
\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3} \right) \cdot \frac{20}{3} = 1.
\]

Giải phương trình trên:

\[
\frac{20}{3} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3} \right) = 1.
\]

Nhân cả hai vế với \( \frac{3}{20} \):

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3} = \frac{3}{20}.
\]

Gộp các phân số lại với nhau:

\[
\frac{x + 3 + x}{x(x + 3)} = \frac{3}{20}.
\]

Rút gọn:

\[
\frac{2x + 3}{x(x + 3)} = \frac{3}{20}.
\]

Giải phương trình này bằng cách nhân chéo:

\[
20(2x + 3) = 3x(x + 3).
\]

Mở rộng hai vế:

\[
40x + 60 = 3x^2 + 9x.
\]

Rearranging the equation gives:

\[
3x^2 - 31x - 60 = 0.
\]

Sử dụng công thức giải phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{31 \pm \sqrt{(-31)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-60)}}{2 \cdot 3}.
\]

Tính \( b^2 - 4ac \):

\[
31^2 = 961,
\]
\[
4 \cdot 3 \cdot 60 = 720,
\]
\[
961 + 720 = 1681.
\]

Một số phép tính tiếp theo:

\[
x = \frac{31 \pm \sqrt{1681}}{6} = \frac{31 \pm 41}{6}.
\]

Tính hai nghiệm:

1.
\[
x_1 = \frac{31 + 41}{6} = \frac{72}{6} = 12 \text{ giờ}.
\]

2.
\[
x_2 = \frac{31 - 41}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \text{ giờ (loại)}.
\]

Vậy thời gian hoàn thành công việc của công nhân thứ nhất là \( 12 \text{ giờ} \) và thời gian hoàn thành công việc của công nhân thứ hai là:

\[
12 + 3 = 15 \text{ giờ}.
\]

**Kết luận**: Công nhân thứ nhất làm việc trong 12 giờ, và công nhân thứ hai làm việc trong 15 giờ.