Đáp án

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) luôn cắt trục hoành tại 1 điểm.

Bất phương trình \(f'\left( x \right) < 2\) có 3 nghiệm nguyên dương.

Giải thích

Tập xác định: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có: \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x{\rm{lo}}{{\rm{g}}_\pi }x = 0 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_\pi }x = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) luôn cắt trục hoành tại 1 điểm.

Ta có: \(f'\left( x \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_\pi }x + x.\frac{1}{{x{\rm{ln}}\pi }} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_\pi }x + \frac{1}{{{\rm{ln}}\pi }}\).

Khi đó, \(f'\left( x \right) < 2 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_\pi }x + \frac{1}{{{\rm{ln}}\pi }} < 2 \Leftrightarrow x < {\pi ^{2 - \frac{1}{{{\rm{ln}}\pi }}}} \approx 3,63\).

Vì \(x\) nguyên dương nên \(x \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).