Cho hàm số \( y = f(x) \) xác định trên khoảng \( (0;+\infty) \). Biết rằng \( f'(x) = 2x + \frac{1}{x^2} \) với mọi \( x \in (0;+\infty) \) và \( f(1) = 1 \). Tính giá trị \( f(4) \)

Để tính giá trị \( f(4) \) từ thông tin đã cho, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Tính \( f(x) \) từ \( f'(x) \)**:
Ta biết rằng \( f'(x) = 2x + \frac{1}{x^2} \). Để tìm \( f(x) \), ta thực hiện tích phân:
\[
f(x) = \int f'(x) \, dx = \int \left( 2x + \frac{1}{x^2} \right) dx
\]
Tính từng phần:
\[
\int 2x \, dx = x^2 + C_1
\]
\[
\int \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{x} + C_2
\]
Kết hợp lại, ta có:
\[
f(x) = x^2 - \frac{1}{x} + C
\]

2. **Sử dụng điều kiện ban đầu**:
Ta có \( f(1) = 1 \):
\[
f(1) = 1^2 - \frac{1}{1} + C = 1 - 1 + C = C
\]
Vậy \( C = 1 \).

Do đó, hàm số \( f(x) \) là:
\[
f(x) = x^2 - \frac{1}{x} + 1
\]

3. **Tính giá trị \( f(4) \)**:
Thay \( x = 4 \) vào hàm số:
\[
f(4) = 4^2 - \frac{1}{4} + 1 = 16 - \frac{1}{4} + 1 = 16 + 1 - \frac{1}{4} = 17 - \frac{1}{4} = \frac{68}{4} - \frac{1}{4} = \frac{67}{4}
\]

Vậy giá trị \( f(4) \) là:
\[
\boxed{\frac{67}{4}}
\]