Đáp án: "11"

Phương pháp giải

- Biểu diễn a theo b.

- Đặt \(t = 4{a^3} + {b^3}\).

- Sử dụng BĐT Cauchy.

Lời giải

Từ giả thiết \(\frac{1}{2}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{2}{b}\) ta được \(a = \frac{4}{{{b^2}}}\)

Đặt \(t = 4{a^3} + {b^3}\). Ta có \(t = 4{a^3} + {b^3} = \frac{{{b^6}}} + {b^3} = \frac{{{b^6}}} + \frac{{{b^3}}}{2} + \frac{{{b^3}}}{2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac}} = 12\)

Khi đó \(P = f\left( t \right) = t - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}t\) với \(t \ge 12\).

Khảo sát hàm số ta được: \(P \ge f\left( {12} \right) = 4 - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3 \Rightarrow x + y + z = 11\).