Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {3;1;2} \right),C\left( { - 1;2;1} \right)\) và đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{ - 1}} = \frac{y}{3} = \frac{1}\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm thuộc đường thẳng \({\rm{\Delta }}\), đi qua \(A\) và cắt mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất bằng (1) ____.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Đáp án
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {3;1;2} \right),C\left( { - 1;2;1} \right)\) và đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{ - 1}} = \frac{y}{3} = \frac{1}\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm thuộc đường thẳng \({\rm{\Delta }}\), đi qua \(A\) và cắt mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất bằng (1) __1/10__.
Giải thích
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;2;1} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3; - 6;6} \right)\) suy ra \(\vec n = \left( {1;2; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(x + 2y - 2z - 1 = 0\).
Phương trình tham số của \({\rm{\Delta }}\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - t}\\{y = 3t}\\{z = - 1 + t}\end{array}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)} \right.\).
Gọi \(I\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\), do \(I \in {\rm{\Delta }}\) nên \(I\left( {2 - t;3t; - 1 + t} \right)\).
Ta có: \(A{I^2} = {(1 - t)^2} + 9{t^2} + {(t - 1)^2} = 11{t^2} - 4t + 2\)
\(d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {2 - t + 6t + 2 - 2t - 1} \right|}}{3} = \left| {t + 1} \right|\).
Gọi \(r\) là bán kính đường tròn, giao của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) thì
\({r^2} = A{I^2} - {d^2}\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) = 11{t^2} - 4t + 2 - {(t + 1)^2} = 10{t^2} - 6t + 1 = 10{\left( {t - \frac{3}} \right)^2} + \frac{1} \ge \frac{1}\)
Do đó bán kính \(r\) nhỏ nhất khi \(t = \frac{3}\), khi đó \(I\left( {\frac;\frac{9};\frac{{ - 7}}} \right),AI = \frac{{\sqrt {179} }}\).
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - \frac} \right)^2} + {\left( {y - \frac{9}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{7}} \right)^2} = \frac\).
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |