Cho hai số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d} \ (b>0; d>0)\). Chứng minh rằng nếu \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) thì \(\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}\)

Để chứng minh rằng nếu \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) thì \(\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}\), ta tiến hành như sau:

1. **Chứng minh \(\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d}\)**:
- Theo giả thiết, ta có:
\[
\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \implies ad < bc
\]
- Ta sẽ so sánh \(\frac{a+c}{b+d}\) với \(\frac{a}{b}\):
\[
\frac{a+c}{b+d} - \frac{a}{b} = \frac{(a+c)b - (a)(b+d)}{b(b+d)} = \frac{ab + bc - ab - ad}{b(b+d)} = \frac{bc - ad}{b(b+d)}
\]
- Vì \(bc > ad\) (theo giả thiết) nên:
\[
bc - ad > 0 \implies \frac{bc - ad}{b(b+d)} > 0
\]
- Do đó, ta có:
\[
\frac{a+c}{b+d} > \frac{a}{b}
\]

2. **Chứng minh \(\frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}\)**:
- So sánh \(\frac{a+c}{b+d}\) với \(\frac{c}{d}\):
\[
\frac{c}{d} - \frac{a+c}{b+d} = \frac{cb + cd - (a+c)d}{d(b+d)} = \frac{cb + cd - ad - cd}{d(b+d)} = \frac{cb - ad}{d(b+d)}
\]
- Vì \(ad < bc\) (theo giả thiết) nên:
\[
cb - ad > 0 \implies \frac{cb - ad}{d(b+d)} > 0
\]
- Do đó, ta có:
\[
\frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}
\]

Kết luận, từ hai phần chứng minh ta có:
\[
\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}
\]
Điều này hoàn tất bài toán.