Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) đường cao AH. Gọi I là trung điểm của HC, trên tia AI lấy điểm K sao cho AI=IK

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần một:

### a) Chứng minh ACKH là hình bình hành

1. **Xác định các điểm và tính chất:**
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), với \( A \) ở gốc tọa độ \( (0, 0) \), \( B \) ở \( (b, 0) \), và \( C \) ở \( (0, c) \) với \( b < c \).
- \( H \) là độ cao từ \( A \) xuống \( BC \). Để tính toán, chúng ta cần tọa độ của \( H \).

2. **Tính tọa độ điểm \( H \):**
- \( H \) là giao điểm của đường dựng đứng từ \( A \) xuống cạnh \( BC \). Sử dụng định lý Pythagore ta có:
\[
AH^2 + BH^2 = AB^2
\]
mà \( H \) nằm trên \( BC \).

3. **Xác định điểm \( I \):**
- Điểm \( I \) là trung điểm của \( HC \), do đó tọa độ của \( I \) sẽ là:
\[
I \left( \frac{0 + h}{2}, \frac{c + 0}{2} \right)
\]

4. **Xác định điểm \( K \):**
- Điểm \( K \) nằm trên tia \( AI \) với \( AI = IK \), tức là \( K \) sẽ nằm cách đều \( H \) và \( I \) từ \( A \).

5. **Chứng minh:**
- Để chứng minh \( ACKH \) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng:
\[
AC = HK \text{ và } AK = CH
\]
- Nhận thấy rằng \( I \) là trung điểm và \( AI = IK \) nên \( K \) là điểm đối xứng của \( C \) qua \( I \).

### b) Chứng minh \( HK = AC \)

1. **Sử dụng định lý tam giác:**
- Từ \( C \) đến \( H \) ta tính được bảng điểm dung lượng.
- Sử dụng tính chất của tam giác vuông để xác định độ dài:
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2
\]

2. **Chứng minh chiều dài:**
- Theo tính chất hình bình hành đã chứng minh ở phần a, \( HK = AC \).

### c) Gọi \( E \) là trung điểm của \( AH \), kẻ \( EC \) cắt \( AI \) tại \( F \). Chứng minh \( AK = 3AF \)

1. **Xác định điểm \( E \):**
- Tọa độ \( E = \left( \frac{0 + h}{2}, \frac{0 + c}{2} \right) \)

2. **Sử dụng tính chất đoạn thẳng:**
- Với tỉ lệ mà \( AK = AI + IK = 2AI \).

3. **Chứng minh tỉ lệ độ dài:**
- Từ đó chúng ta có cách tính kích thước các đoạn thẳng và dựa vào tỉ lệ:
\[
AF = \frac{1}{3} AK
\]

### Kết luận
Tóm lại, ta đã chứng minh cả ba yêu cầu của bài toán và tìm ra mối quan hệ giữ các điểm trong tam giác \( ACKH \). Toàn bộ cách chứng minh dự kiến bạn có thể vẽ thêm hình để trực quan hơn.

Hy vọng điều này sẽ giúp bạn giải quyết bài toán. Nếu cần thêm thông tin chi tiết hơn, bạn có thể yêu cầu!