Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = \frac{-x}{2 - x} + \frac{8}{x} \) với điều kiện \( 0 < x < 2 \), ta tiến hành tính đạo hàm của \( A \).

Đầu tiên, ta đối chiếu biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{-x}{2 - x} + \frac{8}{x}
\]

Bước đầu tiên là tính đạo hàm của \( A \). Sử dụng quy tắc đạo hàm, ta có:

\[
A' = \frac{d}{dx} \left( \frac{-x}{2 - x} \right) + \frac{d}{dx} \left( \frac{8}{x} \right)
\]

Tính đạo hàm của từng phần:

1. Đạo hàm của \( \frac{-x}{2-x} \):
\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{-x}{2-x}\right) = \frac{(-1)(2-x) - (-x)(-1)}{(2-x)^2} = \frac{-2 + x}{(2-x)^2}
\]

2. Đạo hàm của \( \frac{8}{x} \):
\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{8}{x}\right) = -\frac{8}{x^2}
\]

Khi đó, ta có
\[
A' = \frac{x - 2}{(2 - x)^2} - \frac{8}{x^2}
\]

Để tìm cực trị, đặt \( A' = 0 \):
\[
\frac{x - 2}{(2 - x)^2} = \frac{8}{x^2}
\]
Từ đó, ta nhân chéo và tìm ra phương trình:
\[
(x - 2)x^2 = 8(2 - x)^2
\]

Giải phương trình này sẽ cho giá trị \( x \). Sau khi tìm được nghiệm \( x \), ta sẽ kiểm tra giá trị của \( A \) tại các điểm cùng với giá trị biên.

Cuối cùng, so sánh các giá trị \( A \) tại điểm cực trị và biên \( x \to 0^+ \) và \( x = 2 \) để xác định giá trị nhỏ nhất của \( A \).