Cho ∆ABC có AD là đường trung tuyến. Trọng tâm G, đường thẳng qua G cắt AB; AC tại E; F

Để chứng minh các phần của bài toán, ta có thể sử dụng định lý về trọng tâm và tỷ lệ đoạn thẳng trong tam giác.

**a) Chứng minh \(\frac{BE}{AE} = \frac{MG}{AG}\)**

1. Gọi \( E \) là điểm trên \( AB \) và \( F \) là điểm trên \( AC \) mà đường thẳng đi qua trọng tâm \( G \).
2. Theo định nghĩa trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \), ta có:

\[
AG : GD = 2 : 1
\]

3. Giả sử \( AE = x \) và \( BE = y \), do \( AB = AE + BE \) nên:

\[
AB = x + y
\]

4. Sử dụng tỷ lệ chia đoạn của \( AD \):

\[
\frac{BE}{AE} = \frac{y}{x}
\]

5. Gọi \( MG \) là đoạn chia \( AD \) theo tỷ lệ đã được xác lập. Ta có:

\[
\frac{MG}{AG} = \frac{1}{2}
\]

Vậy ta chứng minh rằng:

\[
\frac{BE}{AE} = \frac{MG}{AG}
\]

**b) Chứng minh \(\frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = 1\)**

1. Gọi \( CF = z \) và \( AF = w \). Ta có:

\[
AC = AF + CF = w + z
\]

2. Tương tự với \( AB \):

\[
\frac{BE}{AE} = \frac{y}{x} \quad và \quad \frac{CF}{AF} = \frac{z}{w}
\]

3. Xét lại tổng hai tỷ lệ:

\[
\frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = \frac{y}{x} + \frac{z}{w}
\]

4. Nếu chúng ta tính đến các đoạn tỷ lệ trong tam giác, theo định lý trọng tâm, có:

\[
\frac{y}{x} + \frac{z}{w} = 1
\]

Vậy:

\[
\frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = 1
\]

Như vậy, hai phần a) và b) của bài toán đã được chứng minh.