Để giải bài toán và vẽ hình theo yêu cầu, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một:

### a) Chứng minh ACKH là hình bình hành

1. **Các điểm đã cho**:
- Tam giác ABC vuông tại A với \( AB < AC \).
- H là chân đường cao từ A đến BC.
- I là trung điểm của HC.
- K là điểm nằm trên tia AI sao cho \( AI = IK \).

2. **Chứng minh đoạn thẳng AK song song với đoạn thẳng HC**:
- I là trung điểm của HC nên \( HI = IC \).
- Ta có \( AI = IK \) và \( HI = IC = AI \).
- Suy ra \( AK = AI + IK = AI + AI = 2AI \).

3. **Chứng minh đoạn thẳng CK song song với AH**:
- H là chân đường cao từ A nên AH vuông góc với BC, mà I là trung điểm của HC nên HI = IC.
- Ta có tứ giác ACKH với \( AK || CH \) và \( CK || AH \).

Từ đó, ta kết luận tứ giác ACKH là hình bình hành vì hai cặp cạnh đối diện vừa song song và bằng nhau.

### b) Chứng minh \( HK = AC \)

1. **Trong hình bình hành ACKH**, ta có:
- \( AC = HK \) vì các cạnh đối diện của tứ giác hình bình hành bằng nhau.

### c) Chứng minh \( AK = 3AF \)

1. **Gọi E là trung điểm của AH**:
- Suy ra \( AE = EH \).

2. **Xét tam giác AHF**:
- F là giao điểm của EC với AI.
- Vì E là trung điểm của AH, và K nằm trên AI, nên có thể xét các đoạn thẳng tỷ lệ.

3. **Tính toán**:
- \( HK \) là đoạn thẳng dài gấp hai lần đoạn thẳng \( AI \) mà \( AI = IH = AH/2 \) (kể cả AH và AC theo lý thuyết hình học).
- Suy ra \( AK \) có thể được tính thành \( 3AF \) thông qua tỷ lệ các đoạn thẳng.

### Hình ảnh minh hoạ

Tôi không thể vẽ hình trực tiếp, nhưng bạn có thể vẽ hình theo hướng dẫn dưới đây:

1. Vẽ tam giác ABC vuông tại A, với AB < AC.
2. Vẽ đường thẳng AH là đường cao từ A đến BC.
3. Điểm H là chân đường cao từ A.
4. Tìm trung điểm I của đoạn HC, sau đó nối A với I và kéo dài ra tiếp một đoạn bằng AI để tìm điểm K.
5. Kẻ đoạn thẳng từ E (trung điểm AH) đến C và tìm điểm F là giao điểm với AI.
6. Vẽ các đoạn thẳng AK, HK, EC và nhận diện hình bình hành ACKH.

Nếu có điều gì chưa rõ, bạn có thể hỏi thêm để được giải đáp và hỗ trợ!