Để giải bài toán \((3x+6)^2 = a25\), ta sẽ bắt đầu bằng cách viết lại biểu thức bên trái:

\[
(3x + 6)^2 = 9x^2 + 36x + 36.
\]

Bây giờ, ta sẽ xét biểu thức bên phải \(a25\). Chữ số \(a\) nằm ở hàng trăm trong số này, và \(25\) là hai chữ số cuối cùng. Số này có thể được viết như sau:

\[
a25 = 100a + 25.
\]

Ta có phương trình:

\[
9x^2 + 36x + 36 = 100a + 25.
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
9x^2 + 36x + 11 = 100a.
\]

Bây giờ, để \(9x^2 + 36x + 11\) là bội của \(100\), điều này cần phải thỏa mãn. Ta sẽ ước lượng giá trị tối thiểu và tối đa của \(9x^2 + 36x + 11\) để tìm các giá trị có thể của chữ số \(a\).

Xét biểu thức dưới dạng bậc 2, giá trị nhỏ nhất của nó với \(x\) là số tự nhiên có thể tìm kiếm với công thức đỉnh:

\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{36}{2 \cdot 9} = -\frac{36}{18} = -2.
\]

Tuy nhiên, \(x\) phải là số tự nhiên, nên ta bắt đầu kiểm tra các giá trị của \(x\) bắt đầu từ \(0\).

1. Khi \(x = 0\):

\[
9(0)^2 + 36(0) + 11 = 11 \quad \text{(không phải bội của 100)}
\]

2. Khi \(x = 1\):

\[
9(1)^2 + 36(1) + 11 = 9 + 36 + 11 = 56 \quad \text{(không phải bội của 100)}
\]

3. Khi \(x = 2\):

\[
9(2)^2 + 36(2) + 11 = 36 + 72 + 11 = 119 \quad \text{(không phải bội của 100)}
\]

4. Khi \(x = 3\):

\[
9(3)^2 + 36(3) + 11 = 81 + 108 + 11 = 200 \quad \text{(đúng, } a = 2)\text{)}
\]

Lúc này, ta nhận thấy rằng \(200\) thỏa mãn điều kiện, và \(a = 2\) là chữ số cần tìm.

5. Khi \(x = 4\):

\[
9(4)^2 + 36(4) + 11 = 144 + 144 + 11 = 299 \quad \text{(không phải bội của 100)}
\]

Vì vậy, ngoài \(x = 3\) và \(a = 2\), không có giá trị nào khác cho \(a\) và \(x\) nào thỏa mãn.

**Kết luận**:

Chữ số \(a\) là \(2\) và số tự nhiên \(x\) là \(3\).