Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm. Vẽ các tia Ax, By cùng vuông góc với AB (Ax và By nằm khác phía với AB). Qua O vẽ một đường thẳng cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng: AC = BD, AD = BC

Để chứng minh rằng \( AC = BD \) và \( AD = BC \), ta sẽ áp dụng định lý về tam giác và các tính chất của hình chữ nhật.

### Giả thiết:
- Cho đoạn thẳng \( AB \) có \( O \) là trung điểm.
- Tia \( Ax \) vuông góc với \( AB \) (hướng lên) và tia \( By \) vuông góc với \( AB \) (hướng xuống).
- Đường thẳng đi qua \( O \) cắt \( Ax \) tại \( C \) và cắt \( By \) tại \( D \).

### Chứng minh:

1. **Tạo tam giác**:
- Ta có tam giác \( AOC \) và \( BOD \).

2. **Xét tính đối xứng**:
- Vì \( O \) là trung điểm của \( AB \), ta có \( OA = OB \).
- Tia \( Ax \) và \( By \) vuông góc với \( AB \) nên \( \angle AOB = 90^\circ \).

3. **Sử dụng định lý Pythagore**:
- Trong tam giác vuông \( AOC \):
\[
AC^2 = AO^2 + OC^2
\]
- Trong tam giác vuông \( BOD \):
\[
BD^2 = BO^2 + OD^2
\]
- Bởi vì \( OA = OB \), ta có \( AO = BO \).

4. **So sánh**:
- Do \( OC \) và \( OD \) là chiều cao của đường thẳng đi qua \( O \) cắt \( Ax \) và \( By \), nên \( OC = OD \).

Từ đó, ta có:
\[
AC^2 = OC^2 + AO^2 = OD^2 + BO^2 = BD^2 \implies AC = BD
\]

5. **Tương tự cho chiều dài \( AD \) và \( BC \)**:
- Xét tam giác \( AOD \) và \( BOC \):
- Áp dụng tương tự như trên, ta có:
\[
AD = BC
\]

### Kết luận:
Từ hai kết quả trên, ta có:
\[
AC = BD \quad \text{và} \quad AD = BC
\]

Chứng minh đã hoàn tất.