Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và dây AC căng cung AC có số độ bằng 60°; a) So sánh các góc của tam giác ABC; b) Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC và BC. Hai dây AN và BM cắt nhau tại I. Chứng minh tia CI là tia phân giác của góc ACB

Để giải bài toán này, ta thực hiện theo từng phần:

### a) So sánh các góc của tam giác ABC:

1. **Tam giác ABC**: Xét tam giác ABC với dây AC căng cung AC có số độ bằng 60°. Theo định lý góc ở tâm, góc AOB (góc ở tâm) bằng 60°, nên:
- Góc ACB (góc ở mặt đường tròn) tương ứng với góc AOB = 1/2 góc ở tâm = 60° / 2 = 30°.

2. **Các góc còn lại**:
- Trong tam giác ABC, tổng ba góc luôn bằng 180°:
\[
\text{Góc A} + \text{Góc B} + \text{Góc C} = 180°
\]
- Gọi góc A là α và góc B là β. Ta có:
\[
α + β + 30° = 180°
\]
\[
α + β = 150°
\]
- Như vậy, góc A và B đều lớn hơn góc C (30°).

### b) Chứng minh tia CI là tia phân giác của góc ACB:

1. **Điểm M và N**:
- M là điểm chính giữa của cung AC.
- N là điểm chính giữa của cung BC.

2. **Tính chất**:
- M là điểm chính giữa của cung AC ⇒ góc AMC = góc BMC.
- N là điểm chính giữa của cung BC ⇒ góc ANB = góc CNB.

3. **Góc tại I**:
- Dây AN và BM cắt nhau tại I. Ta có góc AIB = góc AIC + góc BIC.

4. **Chứng minh**:
- Ta thấy góc ACI và góc BCI là các góc đối đỉnh và cùng bằng nhau do tam giác cân.
- Theo định lý góc phân giác, nếu:
\[
\frac{AC}{BC} = \frac{AI}{BI}
\]
- Tương đương với việc chứng minh tỷ lệ này thỏa mãn.

5. **Kết luận**:
- Tia CI là tia phân giác của góc ACB.

Tóm lại, góc C (góc tại đỉnh) luôn nhỏ hơn hai góc còn lại của tam giác và tia CI chính là tia phân giác của góc ACB.