Để giải bài toán, ta sử dụng các kí hiệu cho chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Gọi chiều dài là \(L\) và chiều rộng là \(W\).

1. **Tính chu vi**:
Theo đề bài, chu vi của hình chữ nhật là 420 m, nên ta có:
\[
2L + 2W = 420
\]
Rút gọn phương trình này, ta được:
\[
L + W = 210 \quad \text{(1)}
\]

2. **Tính điều kiện hình vuông**:
Nếu tăng chiều dài lên 2 lần và chiều rộng lên 3 lần, chúng ta có một hình vuông. Điều này có nghĩa là:
\[
2L = 3W \quad \text{(2)}
\]

3. **Giải hệ phương trình**:
Từ phương trình (2), ta có thể biểu diễn \(L\) theo \(W\):
\[
L = \frac{3}{2}W
\]
Thay \(L\) vào phương trình (1):
\[
\frac{3}{2}W + W = 210
\]
\[
\frac{5}{2}W = 210
\]
Nhân cả 2 vế với 2:
\[
5W = 420
\]
Chia cả 2 vế cho 5:
\[
W = 84
\]

Thay giá trị của \(W\) vào phương trình để tìm \(L\):
\[
L + 84 = 210 \implies L = 210 - 84 = 126
\]

4. **Tính diện tích hình chữ nhật**:
Diện tích \(S\) của hình chữ nhật được tính bằng công thức:
\[
S = L \times W = 126 \times 84
\]
Tính toán:
\[
S = 10584 \text{ m}^2
\]

Vậy, diện tích hình chữ nhật là \(10584 \, \text{m}^2\).