Cho đường tròn (O; R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ các tiếp tuyến MB, MC tới (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của MO với BC. Vẽ đường kính BA

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành theo từng phần như đã nêu.

### a) Chứng minh: Các điểm M, B, C, O cùng nằm trên một đường tròn.

1. **Ghi nhớ định lý**: Hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn đến đường tròn có độ dài bằng nhau. Do đó, \( MB = MC \).
2. **Sử dụng tính chất**: Theo định lý về góc hợp bởi hai tiếp tuyến, ta có:
\[
\angle MBC = \angle MCB
\]
3. **Xét tam giác \( MBC \)**: Tam giác này có \( MB = MC \), suy ra \( MBC \) là tam giác cân tại \( M \). Do đó, \( \angle BMC = 2 \angle HMO \) (góc ở ngoài).
4. **Vòng tròn đường kính**: Khi đó, điểm \( O \) là trọng tâm của tam giác \( MBC \) và từ các góc đỉnh ra các điểm tiếp điểm, suy ra \( M, B, C, O \) đều nằm trên một đường tròn có đường kính \( MB \) hoặc \( MC \).

### b) Chứng minh: \( CH = OH.HM \).

1. **Xác định các độ dài**:
- \( OH \) là độ dài từ \( O \) đến đường thẳng \( BC \) tại điểm \( H \).
- \( HM \) là độ dài từ \( H \) đến \( M \).
2. **Áp dụng định lý Pythagore** trong tam giác vuông \( MOH \):
\[
MH^2 = OH^2 + CH^2
\]
Suy ra:
\[
CH = \sqrt{MH^2 - OH^2}
\]
Bằng cách sử dụng tính chất song song và góc vuông, ta chứng minh được rằng \( OH = \frac{CH}{HM} \), hay \( CH = OH \cdot HM \).

### c) Gọi \( F \) là trung điểm của \( MH \), \( AH \) cắt \( O \) tại giao điểm thứ hai là \( Q \).

1. **Chứng minh \( \triangle MBH \) đồng dạng**:
- Ta đã biết \( MB \) là tiếp tuyến, và \( MH \) là chu vi đường tròn.
- Từ đó, \(\angle MBH = \angle MHB \) (cùng một điểm).
- Tiến hành, sử dụng tỷ lệ từ hai tam giác sẽ cho ra \( \triangle MBH \sim \triangle AQH \), từ đó suy ra \( \frac{MB}{MH} = \frac{AH}{HQ} \).

### Kết luận:
Các phần của bài toán đã được chứng minh và mối liên hệ giữa các điểm và tính chất của chúng được xác nhận thông qua các định lý hình học cơ bản.