Để giải bài toán, chúng ta sẽ từng bước xử lý các yêu cầu:

### Bài 1: Đếm số lần xuất hiện của chữ số 2 trong dãy số từ 1 đến 2021

Chúng ta sẽ xem xét từng phần trong số từ 1 đến 2021:

#### 1. Năm chữ số
- **Chữ số hàng ngàn**: Không có chữ số 2 (không có số nào từ 2000 đến 2021 có chữ số 2 khi ở hàng ngàn).
- **Chữ số hàng trăm**: Chỉ có các số từ 2000 đến 2021 sẽ có số 2 ở hàng trăm. Cụ thể chỉ có số 2000 đến 2009. Không có chữ số 2 nào ở hàng trăm từ 1 đến 1999.
- **Chữ số hàng chục**: Chúng ta có các số 20 đến 29 (20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29) sẽ có số 2 ở hàng chục, tương đương 10 số.

- **Chữ số hàng đơn vị**: Các số có chữ số 2 ở hàng đơn vị là 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 102, 112, 122, 132, 142, 152, 162, 172, 182, 192, 202, 212, 222, 232, 242, 252, 262, 272, 282, 292, 302, 312, 322, 332, 342, 352, 362, 372, 382, 392, 402, 412, 422, 432, 442, 452, 462, 472, 482, 492, 502, 512, 522, 532, 542, 552, 562, 572, 582, 592, 602, 612, 622, 632, 642, 652, 662, 672, 682, 692, 702, 712, 722, 732, 742, 752, 762, 772, 782, 792, 802, 812, 822, 832, 842, 852, 862, 872, 882, 892, 902, 912, 922, 932, 942, 952, 962, 972, 982, 992, 1002, 1012, 1022, 1032, 1042, 1052, 1062, 1072, 1082, 1092, 1102, 1112, 1122, 1132, 1142, 1152, 1162, 1172, 1182, 1192, 1202, 1212, 1222, 1232, 1242, 1252, 1262, 1272, 1282, 1292, 1302, 1312, 1322, 1332, 1342, 1352, 1362, 1372, 1382, 1392, 1402, 1412, 1422, 1432, 1442, 1452, 1462, 1472, 1482, 1492, 1502, 1512, 1522, 1532, 1542, 1552, 1562, 1572, 1582, 1592, 1602, 1612, 1622, 1632, 1642, 1652, 1662, 1672, 1682, 1692, 1702, 1712, 1722, 1732, 1742, 1752, 1762, 1772, 1782, 1792, 1802, 1812, 1822, 1832, 1842, 1852, 1862, 1872, 1882, 1892, 1902, 1912, 1922, 1932, 1942, 1952, 1962, 1972, 1982, 1992 và từ 2002 đến 2012 (mỗi một có chữ số 2 ở hàng đơn vị).

Tóm lại:

- **Tổng số lần xuất hiện chữ số 2**:
- Hàng trăm: 10 lần
- Hàng chục: 10 lần (20–29)
- Hàng đơn vị: 202 lần
Tổng cộng số lần xuất hiện chữ số 2 = 10 (hàng chục) + 20 (hàng trăm) + 201 (hàng đơn vị) = **220**.

### Bài 2: Tính tổng các chữ số

Để tính tổng các chữ số trong dãy số từ 1 đến 2021, chúng ta cần tính tổng cho từng nhóm chữ số.

- Tính cho các số từ 1 đến 999:
- Chữ số hàng đơn vị: 10 lần cho mỗi chữ số từ 0-9 (100 lần cho cả 10 chữ số).
- Chữ số hàng chục: 10 lần cho mỗi chữ số từ 0-9 (cũng tương tự).
- Chữ số hàng trăm: 10 lần cho mỗi chữ số từ 0-9.

Áp dụng cho từng nhóm, ta sẽ nhận được tổng là:
\[
\text{Tính tổng cho mỗi chữ số từ 0–9 cho hàng đơn vị:} \\
= 10 \cdot (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) \cdot (100) = 4500
\]

Tương tự ta làm cho hàng chục và hàng trăm:

Tổng cho 1 đến 999 = 4500 (hàng đơn vị) + 4500 (hàng chục) + 4500 (hàng trăm) = **13500**.

- Tính cho các số từ 1000 đến 1999:
- Mỗi số sẽ thêm một chữ số 1 ở hàng nghìn (tổng: 1000).
- Ngoài ra, hàng trăm cũng sẽ như trên từ 1 đến 99 sẽ có 4500 (hàng đơn vị và hàng chục như 1–999).

Tóm lại:
\[
\text{Tổng từ 1000 đến 1999} = 1000 + 13500 = 14500.
\]

- Tính cho các số từ 2000 đến 2021:
- 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009; 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019, 2020, 2021.
- Hàng nghìn: 2 × (22) = 44.
- Hàng trăm: Chỉ số 0 vì chỉ có số 2000 đến 2019 là hàng đã 0.
- Hàng chục: 0 đến 2 = 0 + 2 = 2.
- Hàng đơn vị: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 + 1 = 0 + 1 + 2 + … + 21. Tổng = 66

Kết quả cuối cùng:
\[
\text{Tổng từ 1 đến 2021} = 14500 + 66 = 14566.
\]

Như vậy, chúng ta có:

### Kết luận:
- a. Chữ số 2 xuất hiện **220 lần** trong dãy số từ 1 đến 2021.
- b. Tổng các chữ số từ 1 đến 2021 là **14566**.