Trong tam giác \( ABC \) với \( AB < AC \), khi tia phân giác của góc \( A \) cắt \( BC \) tại điểm \( D \), theo định lý phân giác, ta có tỉ lệ:

\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

Vì \( AB < AC \) nên:

\[
\frac{BD}{DC} < 1 \quad \text{(tức là)} \quad BD < DC
\]

Bây giờ, chúng ta xem xét điểm \( M \) nằm trên đoạn thẳng \( AD \). Khi \( M \) di chuyển từ \( A \) đến \( D \), tỉ lệ giữa các đoạn thẳng \( MB \) và \( MC \) có thể được so sánh.

Do \( M \) nằm trên \( AD \) (tức là \( M \) nằm giữa \( A \) và \( D \)), và với sự phân chia tỉ lệ của điểm \( D \) trên đoạn \( BC \):

1. Từ định lý phân giác, khi \( M \) ở gần \( A \) (tức là \( AD \) gần \( A \)), \( MB \) sẽ lớn hơn \( MC \) vì \( B \) thuộc phía ngược lại với điểm \( D \) so với \( M \), đặc biệt khi \( B \) gần đỉnh \( A \).

2. Khi \( M \) tiến gần đến \( D \) (tức là \( AD \) gần \( D \)), \( MB \) sẽ giảm dần và \( MC \) sẽ tăng dần. Tuy nhiên, do \( BD < DC \), nên \( MB \) sẽ luôn nhỏ hơn \( MC \).

Kết luận:

Vì \( M \) di chuyển trên đoạn thẳng \( AD \) trong triệt để và với một tỉ lệ cố định giữa các cạnh của tam giác, ta thấy rằng, không phụ thuộc vào vị trí cụ thể của \( M \) trên đoạn \( AD \) (miễn là không phải là \( D \)), ta có thể rút ra rằng:

\[
MB < MC
\]

Vì vậy, trong mọi trường hợp, sẽ luôn có \( MB < MC \) khi \( M \) nằm trên đoạn thẳng \( AD \) nối từ \( A \) đến \( D \).