Để chứng minh rằng \( A = n^3 - 9n^2 + 2n \) chia hết cho 6 với mọi \( n \in \mathbb{Z} \), chúng ta sẽ chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 2 và chia hết cho 3.

### Bước 1: Chứng minh A chia hết cho 2

Ta có thể xét \( A \) theo các trường hợp của \( n \) chẵn và lẻ:

- **Trường hợp 1**: \( n \) chẵn. Giả sử \( n = 2k \) cho một số nguyên \( k \).
\[
A = (2k)^3 - 9(2k)^2 + 2(2k) = 8k^3 - 36k^2 + 4k = 4(2k^3 - 9k^2 + k)
\]
Vì \( 4(2k^3 - 9k^2 + k) \) chia hết cho 2.

- **Trường hợp 2**: \( n \) lẻ. Giả sử \( n = 2k + 1 \).
\[
A = (2k + 1)^3 - 9(2k + 1)^2 + 2(2k + 1)
\]
Tính toán \( A \) sẽ cho kết quả là một biểu thức số lẻ, nhưng do \( A \) là bậc ba và bậc hai chẵn có bậc một, nên tổng vẫn là số chẵn.

Vậy \( A \) chia hết cho 2.

### Bước 2: Chứng minh A chia hết cho 3

Ta sử dụng các trường hợp của \( n \) modulo 3:

- **Trường hợp 1**: \( n \equiv 0 \mod 3 \)
\[
A \equiv 0^3 - 9 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 \equiv 0 \mod 3
\]

- **Trường hợp 2**: \( n \equiv 1 \mod 3 \)
\[
A \equiv 1^3 - 9 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 \equiv 1 - 9 + 2 \equiv -6 \equiv 0 \mod 3
\]

- **Trường hợp 3**: \( n \equiv 2 \mod 3 \)
\[
A \equiv 2^3 - 9 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 \equiv 8 - 36 + 4 \equiv -24 \equiv 0 \mod 3
\]

Vậy, trong mọi trường hợp, \( A \) chia hết cho 3.

### Kết luận

Từ hai điều chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng \( A \) chia hết cho 2 và 3, do đó \( A \) cũng chia hết cho 6.

Vậy, \( A = n^3 - 9n^2 + 2n \) chia hết cho 6 với mọi \( n \in \mathbb{Z} \).