Để chứng minh rằng \( 4p + 1 \) là hợp số khi \( p \) là một số nguyên tố lớn hơn 3 và \( 2p + 1 \) cũng là một số nguyên tố, chúng ta sẽ bắt đầu phân tích các tính chất của số nguyên tố \( p \).

1. **Tính chẵn lẻ của \( p \)**:
- Vì \( p \) lớn hơn 3 và là số nguyên tố, \( p \) phải có dạng lẻ, tức là \( p \equiv 1 \) hoặc \( p \equiv 3 \mod{6} \).

2. **Xét trường hợp \( p \equiv 1 \mod{6} \)**:
- Nếu \( p \equiv 1 \mod{6} \), ta có:
\[
2p \equiv 2 \mod{6} \implies 2p + 1 \equiv 3 \mod{6}
\]
Điều này có nghĩa là \( 2p + 1 \) chia hết cho 3 nếu \( 2p + 1 > 3 \) và do đó phải là hợp số. Tuy nhiên, chúng ta đã giả sử rằng \( 2p + 1 \) là nguyên tố, vậy nên \( 2p + 1 = 3 \) (trong trường hợp hiếm hoi này), dẫn đến \( p = 1 \), không phải là một số nguyên tố.

3. **Xét trường hợp \( p \equiv 3 \mod{6} \)**:
- Nếu \( p \equiv 3 \mod{6} \), ta có:
\[
2p \equiv 0 \mod{6} \implies 2p + 1 \equiv 1 \mod{6}
\]
Điều này có nghĩa là \( 2p + 1 \) không chia hết cho 3 và có thể là một số nguyên tố.

4. **Tính \( 4p + 1 \)**:
- Trong cả hai trường hợp, ta có:
- Nếu \( p \equiv 1 \mod{3} \) thì \( p^2 \equiv 1 \mod{3} \), và \( 4p + 1 \equiv 4(1) + 1 \equiv 0 \mod{3} \) (hợp số).
- Nếu \( p \equiv 2 \mod{3} \) thì \( p^2 \equiv 1 \mod{3} \), và \( 4p + 1 \equiv 4(2) + 1 \equiv 9 \equiv 0 \mod{3} \) (hợp số).

5. **Kết luận**:
- Trong cả hai trường hợp, ta thấy rằng \( 4p + 1 \) chia hết cho 3 và lớn hơn 3, do đó \( 4p + 1 \) là hợp số.

Vậy, chúng ta đã chứng minh rằng khi \( p \) là một số nguyên tố lớn hơn 3 và \( 2p + 1 \) cũng là một số nguyên tố, thì \( 4p + 1 \) là hợp số.