Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( n + 12 \) và \( n - 11 \) đều là số chính phương, ta đặt:

\[
n + 12 = k^2 \quad (1)
\]
\[
n - 11 = m^2 \quad (2)
\]

Trong đó, \( k \) và \( m \) là các số nguyên không âm (vì số chính phương không âm).

Từ phương trình (2), ta có thể biểu diễn \( n \):
\[
n = m^2 + 11
\]

Thay vào phương trình (1):
\[
m^2 + 11 + 12 = k^2
\]
\[
m^2 + 23 = k^2
\]

Từ đây, ta có được:
\[
k^2 - m^2 = 23
\]
\[
(k - m)(k + m) = 23
\]

Vì 23 là một số nguyên tố, có một số cặp khả thi cho \( (k - m) \) và \( (k + m) \):

1. \( k - m = 1 \) và \( k + m = 23 \)
2. \( k - m = 23 \) và \( k + m = 1 \) (tuy nhiên, cặp này không hợp lệ vì \( k + m \) phải lớn hơn \( k - m \))

Giải hệ phương trình đầu tiên:

Từ \( k - m = 1 \):
\[
k = m + 1
\]

Thay vào \( k + m = 23 \):
\[
(m + 1) + m = 23
\]
\[
2m + 1 = 23
\]
\[
2m = 22
\]
\[
m = 11
\]

Từ \( m = 11 \) ta tìm được \( k \):
\[
k = m + 1 = 11 + 1 = 12
\]

Bây giờ ta tìm \( n \):
\[
n = m^2 + 11 = 11^2 + 11 = 121 + 11 = 132
\]

Cuối cùng, ta kiểm tra lại:
- \( n + 12 = 132 + 12 = 144 = 12^2 \) (số chính phương)
- \( n - 11 = 132 - 11 = 121 = 11^2 \) (số chính phương)

Như vậy, số tự nhiên \( n \) mà tìm được là:
\[
\boxed{132}
\]