Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 4. M, N, P lần lượt là trung điểm AB, AC, BC

Để giải các bài toán về vectơ trong tam giác đều \( ABC \) với cạnh bằng \( 4 \), đầu tiên ta cần xác định vị trí của các điểm trong mặt phẳng toạ độ.

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Giả sử điểm \( A(0, 0) \).
- Điểm \( B(4, 0) \).
- Điểm \( C(2, 2\sqrt{3}) \) (vì chiều cao của tam giác đều là \( \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \)).
- Điểm \( M \) (trung điểm của \( AB \)): \( M(2, 0) \).
- Điểm \( N \) (trung điểm của \( AC \)): \( N(1, \sqrt{3}) \).
- Điểm \( P \) (trung điểm của \( BC \)): \( P(3, \sqrt{3}) \).

2. **Giải các câu a, b, c, d**:

### Câu a:
Tính \( \vec{AM} + \vec{BC} + \vec{NB} \):
- Tính \( \vec{AM} = M - A = (2, 0) - (0, 0) = (2, 0) \).
- Tính \( \vec{BC} = C - B = (2, 2\sqrt{3}) - (4, 0) = (-2, 2\sqrt{3}) \).
- Tính \( \vec{NB} = B - N = (4, 0) - (1, \sqrt{3}) = (3, -\sqrt{3}) \).

Tổng hợp:
\[
\vec{AM} + \vec{BC} + \vec{NB} = (2, 0) + (-2, 2\sqrt{3}) + (3, -\sqrt{3}) = (3, \sqrt{3}).
\]

### Câu b:
Tính \( \vec{BP} - \vec{BA} \):
- Tính \( \vec{BP} = P - B = (3, \sqrt{3}) - (4, 0) = (-1, \sqrt{3}) \).
- Tính \( \vec{BA} = A - B = (0, 0) - (4, 0) = (-4, 0) \).

Tính hiệu:
\[
\vec{BP} - \vec{BA} = (-1, \sqrt{3}) - (-4, 0) = (3, \sqrt{3}).
\]

### Câu c:
Tính \( \vec{BM} - \vec{CM} + \vec{AN} \):
- Tính \( \vec{BM} = M - B = (2, 0) - (4, 0) = (-2, 0) \).
- Tính \( \vec{CM} = M - C = (2, 0) - (2, 2\sqrt{3}) = (0, -2\sqrt{3}) \).
- Tính \( \vec{AN} = N - A = (1, \sqrt{3}) - (0, 0) = (1, \sqrt{3}) \).

Tổng hợp:
\[
\vec{BM} - \vec{CM} + \vec{AN} = (-2, 0) - (0, -2\sqrt{3}) + (1, \sqrt{3}) = (-1, 2\sqrt{3}).
\]

### Câu d:
Tính \( \vec{AP} + \vec{MN} \):
- Tính \( \vec{AP} = P - A = (3, \sqrt{3}) - (0, 0) = (3, \sqrt{3}) \).
- Tính \( \vec{MN} = N - M = (1, \sqrt{3}) - (2, 0) = (-1, \sqrt{3}) \).

Tổng hợp:
\[
\vec{AP} + \vec{MN} = (3, \sqrt{3}) + (-1, \sqrt{3}) = (2, 2\sqrt{3}).
\]

Vậy, các kết quả là:
- Câu a: \( (3, \sqrt{3}) \)
- Câu b: \( (3, \sqrt{3}) \)
- Câu c: \( (-1, 2\sqrt{3}) \)
- Câu d: \( (2, 2\sqrt{3}) \)