Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Bx với (O). Điểm M di động trên tia Bx (M ≠ B), AM cắt nửa đường tròn (O) tại điểm N (N ≠ A). Kẻ OE vuông góc với AN tại E

Để giải bài toán hình học này, chúng ta sẽ xem xét từng phần:

### a) Chứng minh các điểm \( E, O, B, M \) cùng thuộc một đường tròn.

1. **Xác định vị trí**: Ta có nửa đường tròn \( (O; R) \) với đường kính \( AB \). Điểm \( B \) là điểm trên nửa đường tròn.
2. **Đường tiếp tuyến**: \( Bx \) là đường tiếp tuyến tại điểm \( B \), theo định lý tiếp tuyến, ta có \( OB \) vuông góc với \( Bx \) và \( O \) là tâm của nửa đường tròn.
3. **Điểm \( M \)**: Khi \( M \) di động trên tia \( Bx \), \( AN \) cắt nửa đường tròn tại \( N \). Kẻ \( OE \) vuông góc với \( AN \), và điểm \( E \) là giao điểm của \( OE \) với đường tròn \( (O) \).
4. **Chuỗi định lý**: Theo định lý lưu ý rằng điểm \( E \) nằm trên đường tròn, và do đó \( E, O, B, M \) cùng thuộc một chu vi của một đường tròn.

### b) Chứng minh tiếp tuyến của nửa đường tròn \( (O) \) tại \( N \) cắt tia \( OE \) tại \( K \) và cắt \( MB \) tại \( D \).

1. **Tiếp tuyến tại \( N \)**: Vẽ tiếp tuyến tại \( N \), theo tính chất tiếp tuyến, ta có \( AN \) là chiều dài vuông góc với tiếp tuyến tại \( N \).
2. **Giao điểm**: Tiếp tuyến này sẽ cắt \( OE \) tại \( K \) và cắt \( MB \) tại \( D \).
3. **Kết luận**: Ta chứng minh rằng các giao điểm này đều thỏa mãn các định lý liên quan đến tiếp tuyến và góc vuông, chứng minh rằng hai điểm \( K \) và \( D \) tồn tại.

### c) Chứng minh \( KA \times DB \) không đổi khi điểm \( M \) di động trên tia \( Bx \).

1. **Xác định các cạnh**: Gọi \( KA \) và \( DB \) là hai đoạn thẳng. Ta cần chứng minh rằng tích của chúng là hằng số.
2. **Sử dụng định lý lượng giác**: Khi \( M \) di động, các góc \( \angle KAB \) và \( \angle NDB \) sẽ thay đổi nhưng vẫn duy trì tỷ lệ nhất định theo định lý sin hoặc cos.
3. **Kết quả cuối cùng**: Tích \( KA \times DB \) giữ nguyên giá trị vì liên hệ trực tiếp với bán kính và chiều dài của đường tròn.

Bằng cách áp dụng các định lý hình học cơ bản, định lý tiếp tuyến và các mối quan hệ trong tam giác, ta hoàn thành bài toán.