Cho tam giác ABC, kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC). Trên tia đối của tia HA lấy điểm K sao cho HK = HA

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các phương pháp hình học cơ bản:

### a) Chứng minh \( \triangle ABH = \triangle KBH \) và suy ra \( BH \) là tia phân giác \( \overline{ABK} \).

1. **Tam giác \( ABH \) và \( KBH \)**:
- \( AH \perp BC \) nghĩa là \( AH \) tạo với \( BH \) các góc vuông: \( \angle AHB = \angle KHB = 90^\circ \).
- \( HK = HA \) và \( BH \) là cạnh chung.

Do đó, theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (C-G-C), ta có:
\[
\triangle ABH \cong \triangle KBH.
\]

2. **Từ sự đồng nhất này**:
- Hai tam giác bằng nhau nên \( \angle ABH = \angle KBH \), suy ra \( BH \) là tia phân giác của \( \angle ABK \).

### b) Chứng minh \( CA = CK \).

- Trong hai tam giác \( ABH \) và \( KBH \), ta đã có:
- \( AB = KB \) (do \( \triangle ABH \cong \triangle KBH \)).
- \( AH = HK \) (theo đề bài).

- Do đó, ta có \( CA = CK \) bởi tính đối xứng của điểm \( K \) qua \( A \).

### c) Chứng minh \( \triangle ABC = \triangle KBC \).

- Với \( CA = CK \) và \( BH \) là tia phân giác, ta có:
- Từ bước a, hai tam giác \( ABH \) và \( KBH \) đã chứng minh bằng nhau rồi, do vậy:
- \( AB = KB \) và \( BH \) là cạnh chung.

- Duy trì tính đồng nhất của các cạnh, suy ra hai tam giác \( ABC \) và \( KBC \) cũng bằng nhau:
\[
\triangle ABC \cong \triangle KBC.
\]

Tóm lại, ta đã chứng minh được cả ba phần yêu cầu của bài toán đã cho.