Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 5x^2 + 2y^2 + 4xy - 2x + 4y + 2023 \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương.

Biểu thức \( A \) có thể được nhóm lại như sau:

\[
A = 5x^2 + 4xy + 2y^2 - 2x + 4y + 2023
\]

Chúng ta có thể viết lại phần \( 5x^2 + 4xy + 2y^2 \) như là một phần hoàn thành bình phương:

\[
A = 5\left(x^2 + \frac{4}{5}xy + \frac{2}{5}y^2\right) - 2x + 4y + 2023
\]

Gọi \( z = \frac{2}{5}y \), ta có:

\[
y = \frac{5}{2}z
\]

Thay giá trị của \( y \) vào biểu thức:

\[
x^2 + \frac{4}{5}xy + \frac{2}{5}y^2 = x^2 + \frac{4}{5}x\left(\frac{5}{2}z\right) + \frac{2}{5}\left(\frac{5}{2}z\right)^2
= x^2 + 2xz + \frac{25}{20}z^2 = x^2 + 2xz + \frac{5}{4}z^2
\]

Tiếp tục hoàn thành bình phương:

\[
= \left(x + z\right)^2 + \frac{5}{4}z^2 - z^2 = \left(x + z\right)^2 - \frac{5}{4}z^2
\]

Biểu thức trở thành:

\[
A = 5\left(\left(x + z\right)^2 - \frac{5}{4}z^2\right) - 2x + 4\left(\frac{5}{2}z\right) + 2023
\]

Kết hợp và thực hiện biến đổi, ta tìm ra giá trị nhỏ nhất. Tuy nhiên, cách tiếp cận bằng hoàn thành bình phương khá phức tạp trong trường hợp này. Để đơn giản hơn, ta dùng đạo hàm riêng để tìm cực trị.

Tính đạo hàm riêng của \( A \) theo \( x \) và \( y \):

\[
\frac{\partial A}{\partial x} = 10x + 4y - 2
\]
\[
\frac{\partial A}{\partial y} = 4x + 4y
\]

Đặt bằng 0 để tìm điểm cực trị:

1. Từ \(\frac{\partial A}{\partial x} = 0\): \( 10x + 4y - 2 = 0 \) (1)
2. Từ \(\frac{\partial A}{\partial y} = 0\): \( 4x + 4y = 0 \Rightarrow y = -x \) (2)

Thay \( y = -x \) vào phương trình (1):

\[
10x + 4(-x) - 2 = 0 \Rightarrow 10x - 4x - 2 = 0 \Rightarrow 6x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{3}
\]

Thay \( x = \frac{1}{3} \) vào (2):

\[
y = -\frac{1}{3}
\]

Giờ ta sẽ tính giá trị \( A \) tại \( (x, y) = \left(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\right) \):

\[
A = 5\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{1}{3}\right) - 2\left(\frac{1}{3}\right) + 4\left(-\frac{1}{3}\right) + 2023
\]
\[
= 5\left(\frac{1}{9}\right) + 2\left(\frac{1}{9}\right) - \frac{4}{9} - \frac{2}{3} - \frac{4}{3} + 2023
\]
\[
= \frac{5}{9} + \frac{2}{9} - \frac{4}{9} - \frac{6}{9} + 2023
\]
\[
= \frac{5 + 2 - 4 - 6}{9} + 2023 = \frac{-3}{9} + 2023 = -\frac{1}{3} + 2023 = 2022 + \frac{2}{3}
\]
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là:
\[
\boxed{2022 + \frac{2}{3}}
\]