Để rút gọn biểu thức

\[
\frac{1}{2(x-1)} + \frac{3}{x^2 - 1} = \frac{1}{4}
\]

ta sẽ làm như sau:

1. **Xác định mẫu số chung**:
- Ta có \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \), vì vậy mẫu số chung là \( 2(x-1)(x+1) \).

2. **Chuyển đổi từng phân số về mẫu số chung**:

\[
\frac{1}{2(x-1)} = \frac{1 \cdot (x+1)}{2(x-1)(x+1)} = \frac{x+1}{2(x-1)(x+1)}
\]
\[
\frac{3}{x^2 - 1} = \frac{3}{(x-1)(x+1)} = \frac{3 \cdot 2}{2(x-1)(x+1)} = \frac{6}{2(x-1)(x+1)}
\]

3. **Cộng hai phân số**:

\[
\frac{x+1}{2(x-1)(x+1)} + \frac{6}{2(x-1)(x+1)} = \frac{x+1 + 6}{2(x-1)(x+1)} = \frac{x + 7}{2(x-1)(x+1)}
\]

4. **Bằng với phần bên phải**:

\[
\frac{x + 7}{2(x-1)(x+1)} = \frac{1}{4}
\]

5. **Giải phương trình**:

Nhân chéo:

\[
4(x + 7) = 2(x - 1)(x + 1)
\]
\[
4x + 28 = 2(x^2 - 1)
\]
\[
4x + 28 = 2x^2 - 2
\]
\[
2x^2 - 4x - 30 = 0
\]

Chia cả hai vế cho 2:

\[
x^2 - 2x - 15 = 0
\]

6. **Giải phương trình bậc hai**:

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2}
\]
\[
= \frac{2 \pm 8}{2}
\]

Nghiệm:

\[
x_1 = 5, \quad x_2 = -3
\]

Do đó, các giá trị của \( x \) là \( 5 \) và \( -3 \).