Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
A = \frac{1}{a^2+b^2} + \frac{1}{ab} + 4ab
\]

với điều kiện \( a + b \leq 1 \) và \( a, b > 0 \), ta áp dụng một số bước sau:

1. **Thay thế biểu thức:** Ta có thể biểu diễn hoán vị \( a \) và \( b \) như sau: Gọi \( s = a + b \) và \( p = ab \). Do \( a + b = s \), ta có \( a^2 + b^2 = s^2 - 2p \), tức là:

\[
A = \frac{1}{s^2 - 2p} + \frac{1}{p} + 4p
\]

2. **Tìm \( p \) theo \( s \):** Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
(a+b)^2 \leq 2(a^2 + b^2) \implies s^2 \leq 2(a^2 + b^2) \implies a^2 + b^2 \geq \frac{s^2}{2}
\]

Vậy \( p \) có thể đạt giá trị tối đa \( \frac{s^2}{4} \) theo bất đẳng thức AM-GM \( \left( \frac{a+b}{2} \right)^2 \).

3. **Xác định khoảng giá trị của \( p \):** Từ bất đẳng thức trên, ta có \( p \leq \frac{s^2}{4} \). Do đó hiệu \( a + b \leq 1 \) sẽ dẫn đến \( s \leq 1 \).

4. **Phương trình biến diễn:** Xét hàm \( A \), dưới điều kiện \( p \) có thể xác định một giá trị cụ thể. Thay \( s = 1 \) (giá trị cực đại cho \( a+b \)) và \( p = ab \). Ta tối ưu hóa \( A \) theo các giá trị khả thi của \( p \).

5. **Tính toán giá trị nhỏ nhất:** Chúng ta kiểm tra hai giá trị biên \( a \) và \( b \).

- Nếu \( a = b = \frac{1}{2} \):

\[
A = \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} + \frac{1}{\frac{1}{4}} + 4\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)
\]

\[
= \frac{1}{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} + 4 + 1 = \frac{1}{\frac{1}{2}} + 4 + 1 = 2 + 4 + 1 = 7.
\]

- Nếu \( a \) tiến tới \( 0 \) và \( b \) tiến tới \( 1 \) (hoặc ngược lại):

\[
A \rightarrow \infty \text{ vì }\frac{1}{ab} \rightarrow \infty \text{ khi } ab \rightarrow 0.
\]

Như vậy, giá trị nhỏ nhất của \( A \) mà ta có được là:

\[
\boxed{7}.
\]