Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \( m \) để bất phương trình \( x^2 - 2(m-1)x + 4m + 8 \geq 0 \) nghiệm đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \)

Để bất phương trình \( x^2 - 2(m-1)x + 4m + 8 \geq 0 \) nghiệm đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \), chúng ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn có ít nhất một nghiệm thực.

Bất phương trình có dạng:

\[
ax^2 + bx + c \geq 0
\]

Trong đó:
- \( a = 1 \)
- \( b = -2(m-1) \)
- \( c = 4m + 8 \)

Để bất phương trình này nghiệm đúng với mọi \( x \), điều kiện cần thiết là:

1. \( a > 0 \) (tức là 1 > 0, điều này luôn đúng).
2. Đề thức discriminant (đạo hàm) phải không dương: \( b^2 - 4ac \leq 0 \).

Tính toán discriminant:

\[
D = b^2 - 4ac = [-2(m - 1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4m + 8)
\]

\[
= 4(m - 1)^2 - 4(4m + 8) = 4[(m - 1)^2 - (4m + 8)]
\]

\[
= 4(m^2 - 2m + 1 - 4m - 8) = 4(m^2 - 6m - 7)
\]

Để \( D \leq 0 \):

\[
m^2 - 6m - 7 \leq 0
\]

Giải phương trình bậc hai \( m^2 - 6m - 7 = 0 \):

\[
D' = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64
\]

\[
m = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2}
\]

Tính được hai nghiệm:

\[
m_1 = \frac{14}{2} = 7 \quad và \quad m_2 = \frac{-2}{2} = -1
\]

Theo định lý nghiệm, bất phương trình \( m^2 - 6m - 7 \leq 0 \) sẽ có nghiệm trong khoảng:

\[
[-1, 7]
\]

Vì vậy, các giá trị nguyên của \( m \) nằm trong khoảng này là: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Số lượng các giá trị nguyên là:

\[
8 \text{ giá trị}
\]

**Kết luận**: Số lượng giá trị nguyên của tham số \( m \) thỏa mãn điều kiện là \( \boxed{9} \).