Cho tứ giác \(ABCD\), \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Gọi \(G, G'\) theo thứ tự là trọng tâm của tam giác \(OAB\) và \(OCD\)

### Giải quyết câu hỏi 4

Cho tứ giác \(ABCD\) với giao điểm của các đường chéo \(AC\) và \(BD\) là \(O\). Ta có trọng tâm của tam giác \(OAB\) là \(G\) và trọng tâm của tam giác \(OCD\) là \(G'\).

#### a) Tính \(GG'\)

Trọng tâm của một tam giác cắt các cạnh của tam giác đó ở tỉ lệ \(1:2\) từ đỉnh đến trung điểm bên kia.

\[
G = \frac{1}{3}(O + A + B)
\]
\[
G' = \frac{1}{3}(O + C + D)
\]

Do đó, ta có:

\[
GG' = G' - G = \frac{1}{3}(O + C + D) - \frac{1}{3}(O + A + B) = \frac{1}{3}((C + D) - (A + B)) = \frac{1}{3}((C + D) - (A + B))
\]

#### b) Tính \(G'O\)

Tương tự, ta có:

\[
G' = \frac{1}{3}(O + C + D)
\]
\[
GO = O - G = O - \frac{1}{3}(O + A + B) = \frac{2}{3}O - \frac{1}{3}(A + B)
\]

#### c) Tính \(GG\)

Theo tính chất trọng tâm, ta có:

\[
GG = G - G' = \frac{1}{3}(O + A + B) - \frac{1}{3}(O + C + D) = \frac{1}{3}((A + B) - (C + D))
\]

#### d) Tính \(GG'\) qua \(AC\) và \(BD\)

Từ các tính toán trên, ta có thể thấy rằng trọng tâm \(G\) và \(G'\) phụ thuộc vào vị trí của các điểm \(A, B, C, D\). Ta có thể biểu diễn:

\[
GG' = \frac{2}{3}(AC + BD)
\]

### Kết luận

Các biểu thức trên cho phép ta thấy quan hệ giữa các trọng tâm và việc tính toán là dựa vào tọa độ của các điểm \(A, B, C, D\).