Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N, K lần lược là trung điểm của AB, BC, BD. Chứng minh MK + NK = AB+CD / 2

Chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các trung điểm và một số phương pháp hình học để chứng minh rằng \( MK + NK = \frac{AB + CD}{2} \).

### Bước 1: Xác định tọa độ các điểm

Gọi các điểm:

- \( A(a_1, a_2) \)
- \( B(b_1, b_2) \)
- \( C(c_1, c_2) \)
- \( D(d_1, d_2) \)

Các điểm trung điểm sẽ được tính như sau:

- **Điểm M** là trung điểm của AB:
\[
M = \left( \frac{a_1 + b_1}{2}, \frac{a_2 + b_2}{2} \right)
\]

- **Điểm N** là trung điểm của BC:
\[
N = \left( \frac{b_1 + c_1}{2}, \frac{b_2 + c_2}{2} \right)
\]

- **Điểm K** là trung điểm của BD:
\[
K = \left( \frac{b_1 + d_1}{2}, \frac{b_2 + d_2}{2} \right)
\]

### Bước 2: Tính MK

Tính độ dài \( MK \):
\[
MK = \sqrt{ \left( \frac{a_1 + b_1}{2} - \frac{b_1 + d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{a_2 + b_2}{2} - \frac{b_2 + d_2}{2} \right)^2 }
\]

Rút gọn biểu thức này:
\[
= \sqrt{ \left( \frac{a_1 - d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{a_2 - d_2}{2} \right)^2 } = \frac{1}{2} \sqrt{(a_1 - d_1)^2 + (a_2 - d_2)^2} = \frac{1}{2} AD
\]

### Bước 3: Tính NK

Tính độ dài \( NK \):
\[
NK = \sqrt{ \left( \frac{b_1 + c_1}{2} - \frac{b_1 + d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{b_2 + c_2}{2} - \frac{b_2 + d_2}{2} \right)^2 }
\]

Rút gọn biểu thức này:
\[
= \sqrt{ \left( \frac{c_1 - d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{c_2 - d_2}{2} \right)^2 } = \frac{1}{2} \sqrt{(c_1 - d_1)^2 + (c_2 - d_2)^2} = \frac{1}{2} CD
\]

### Bước 4: Tính tổng MK và NK

Bây giờ, chúng ta tính tổng:
\[
MK + NK = \frac{1}{2} AD + \frac{1}{2} CD
\]
\[
= \frac{1}{2}(AD + CD)
\]

### Kết quả

Vì \( AD + CD = AB + CD \) (theo định nghĩa của các đoạn thẳng trong tứ giác), chúng ta kết luận rằng:
\[
MK + NK = \frac{AB + CD}{2}
\]

Do đó, chúng ta đã chứng minh xong.