Để chứng minh các tính chất của tam giác ABC mà bạn đề cập, chúng ta sẽ làm từng phần:

### a) Chứng minh tam giác ABM = tam giác ACM.
Tam giác ABC là tam giác cân với \(AB = AC\) và \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\).

Phân tích:
- Ta có \(AB = AC\) (giả thiết).
- Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(BM = MC\).
- Đoạn \(AM\) là cạnh chung của hai tam giác ABM và ACM.

Từ đó, theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh (CCS), ta có:
\[
\text{Tam giác } ABM \cong \text{Tam giác } ACM.
\]
Vì vậy, ta có \( \triangle ABM = \triangle ACM \).

### b) Chứng minh AM là phân giác của góc BAC và AM vuông góc với BC, biết góc BAM = 25 độ.

Từ câu a), chúng ta đã biết rằng các tam giác ABM và ACM là đồng dạng, do đó:
- Góc \(BAM = CAM\), nên \(BAM = CAM\).

Do \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có:
- \(AM\) là đường thẳng đi từ \(A\) và chia góc \(BAC\) thành hai góc bằng nhau (biểu diễn là phân giác).

Giả sử \(góc BAM = 25 độ\):
- Vậy \(góc CAM = 25 độ\) và
- Do đó \(góc BAC = BAM + CAM = 25 độ + 25 độ = 50 độ.\)

Nếu AM vuông góc với BC, đã thoả điều kiện rằng AM cắt BC tại M, tạo thành góc vuông với BC.

### c) Tính số đo các góc của tam giác ABM.
Cuộc tính các góc của tam giác ABM:
- Từ \(BAC = 50 độ\), ta có:
\[
góc AMB = 90 độ - BAM = 90 độ - 25 độ = 65 độ.
\]

Và:
\[
góc ABM = 180 độ - AMB - BAM = 180 độ - 65 độ - 25 độ = 90 độ.
\]
Vậy:
\[
góc ABM = 90 độ, \quad góc BAM = 25 độ, \quad góc AMB = 65 độ.
\]

### d) Đường thẳng qua B và song song với AC.

Bạn đã đưa ra đoạn thẳng qua B và song song với AC cắt tia AM tại E. Từ định lý hình thang, ta có:
- \(BE \parallel AC\) nên ta sẽ có hai góc đồng vị (góc ABE và góc EAC) bằng nhau.

Theo từng cặp góc này:
- \(góc ABE = 25độ\) bởi vì các nằm góc B và A là góc đồng dạng với nhau.

Do tính chất hình học, ta có:
- \(AC = BE\) và \(BE = CE\) (do \(M\) là trung điểm). Tính chất này đảm bảo rằng độ dài 3 cạnh này là bằng nhau.

Tóm lại:
\[
AC = BE = CE.
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong các tính chất được đề cập trong đề bài.