Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một:

### a. Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

Tứ giác AEHF được tạo thành từ các đoạn thẳng:
- AE: cạnh của tam giác.
- EH: vuông góc với AB.
- HF: vuông góc với AC.

Vì HE vuông góc với AB tại H và HF vuông góc với AC tại H, đồng thời AE là một cạnh của tam giác ABC, nên khi kéo dài đoạn thẳng AE, nó sẽ tạo ra hai góc vuông ở H. Đồng thời, khi kẻ đường cao AH, thì H chính là điểm vuông góc từ A đến cạnh BC.

Do đó, tứ giác AEHF là một tứ giác hình chữ nhật, với các góc vuông tại E và H (do HE vuông góc và HF vuông góc), và AE là một cạnh của hình này.

### b. Tam giác ABC có điều kiện gì thì AEHF là hình vuông?

Để tứ giác AEHF trở thành hình vuông, điều kiện cần thiết là các cạnh AE và EF phải bằng nhau.

Trong tam giác ABC, nếu tam giác này là tam giác vuông tại A (tức là AH là đường cao), thì HE và HF sẽ là các đoạn thẳng có độ dài bằng nhau (bởi vì từ H vẽ những đoạn thẳng vuông góc với các cạnh). Do đó, AEHF sẽ là hình vuông.

### c. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh AM vuông góc với EF.

Giả sử rằng AH là đường cao từ A đến cạnh BC của tam giác ABC. Vì H là chân đường cao, nên điểm H sẽ nằm trên cạnh BC.

M là trung điểm của BC, vậy BM = MC. Trong tam giác ABC, các đoạn thẳng AM và AH có đặc điểm như sau:

- Đoạn thẳng AM cắt đoạn EF tại một điểm và tạo thành hai tam giác lần lượt là AHE và AHF.

Ta có thể nhận thấy rằng nếu AM là đoạn nối từ A đến M (trung điểm) và EF được hình thành từ HE và HF (vuông góc với các cạnh AB và AC), thì AM sẽ vuông góc với EF, vì EF chạy song song với cạnh BC.

Chúng ta có thể sử dụng định lý về tứ giác và sự đồng dạng để chứng minh. Nếu vẽ thêm đường thẳng AE và AF thì ta thấy rằng tam giác AHE và tam giác AHF có cùng chiều cao từ A (là AH).

Do đó, có thể khẳng định rằng AM vuông góc với EF.

### Kết luận

Tăng cường kiến thức về hình học, đặc biệt là về các tứ giác, tam giác vuông, sẽ giúp chúng ta phân tích và chứng minh những điều cần thiết trong các bài toán liên quan đến hình học trong không gian.