Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x^2 - xy + y^2 - 2x - 2y \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm và tìm các điểm cực trị.

1. **Tìm đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \)**:
\[
\frac{\partial A}{\partial x} = 2x - y - 2
\]
\[
\frac{\partial A}{\partial y} = -x + 2y - 2
\]

2. **Giải hệ phương trình \( \frac{\partial A}{\partial x} = 0 \) và \( \frac{\partial A}{\partial y} = 0 \)**:
- Từ \( 2x - y - 2 = 0 \):
\[
y = 2x - 2
\]
- Thay \( y \) vào phương trình thứ hai \( -x + 2y - 2 = 0 \):
\[
-x + 2(2x - 2) - 2 = 0
\]
\[
-x + 4x - 4 - 2 = 0
\]
\[
3x - 6 = 0 \implies x = 2
\]
- Thay \( x = 2 \) vào \( y = 2x - 2 \):
\[
y = 2(2) - 2 = 2
\]

3. **Điểm cực trị**:
Ta có điểm \( (x, y) = (2, 2) \).

4. **Tính giá trị của \( A \) tại điểm cực trị**:
\[
A(2, 2) = 2^2 - 2 \cdot 2 + 2^2 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2
\]
\[
A(2, 2) = 4 - 4 + 4 - 4 - 4 = -4
\]

5. **Kiểm tra tính cực tiểu**:
Ta có thể tính định thức Hessian để kiểm tra tính cực trị tại điểm này. Tính các đạo hàm bậc hai:
\[
\frac{\partial^2 A}{\partial x^2} = 2, \quad \frac{\partial^2 A}{\partial y^2} = 2, \quad \frac{\partial^2 A}{\partial x \partial y} = -1
\]
Định thức Hessian \( H \):
\[
H = \frac{\partial^2 A}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 A}{\partial y^2} - \left( \frac{\partial^2 A}{\partial x \partial y} \right)^2 = 2 \cdot 2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3 > 0
\]
Vì \( \frac{\partial^2 A}{\partial x^2} > 0 \) và \( H > 0 \), điểm này là cực tiểu.

**Kết luận**: Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( -4 \) tại \( (x, y) = (2, 2) \).