Để giải bài toán, chúng ta sẽ tiến hành theo từng phần một.

### Phần a

Giả sử hình vuông ABCD có các đỉnh như sau:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a, a)
- D(0, a)

Gọi M thuộc tia đối tia CB (tức là nằm trên đường thẳng CB kéo dài qua điểm B) và N thuộc tia đối tia DC (tức là nằm trên đường thẳng DC kéo dài qua điểm D). Điều kiện cho là BM = DN, tức là đoạn thẳng BM và đoạn thẳng DN có độ dài bằng nhau.

#### Chứng minh:
1. **Gọi tọa độ của M và N:**
- M có thể có tọa độ là \(M(a + x, 0)\) với \(x > 0\).
- N có thể có tọa độ là \(N(0, a + y)\) với \(y > 0\).
- Theo giả thiết, ta có \(BM = DN\) → \(x = y\) (do BM = DN).

2. **Tính độ dài các đoạn thẳng:**
- Độ dài \(BM = x\).
- Độ dài \(DN = y\).

Do đó, ta đã có BM = DN.

3. **Chứng minh hai tam giác đồng dạng:**
- Từ A đến M: AM = \(|M - A| = \sqrt{(a + x - 0)^2 + (0 - 0)^2} = a + x\).
- Từ A đến N: AN = \(|N - A| = \sqrt{(0 - 0)^2 + (a + y - 0)^2} = a + y\).

4. **Hệ số tỉ lệ:**
Do \(BM = DN\) nên ta kết luận rằng \(ABM\) ~ \(ADN\) (tỉ lệ tương ứng).

5. **Chứng minh AM vuông góc AN:**
- Vector \(AM = (a+x, 0)\).
- Vector \(AN = (0, a+y)\).

Tích vô hướng:
\[
AM \cdot AN = (a+x) \cdot 0 + 0 \cdot (a+y) = 0.
\]
Do đó, hai vector AM và AN vuông góc với nhau.

### Phần b

Gọi I là trung điểm của MN. Ta có tọa độ của \(I\) được tính như sau:
- \(M(a+x, 0)\)
- \(N(0, a+y)\)

Tọa độ của trung điểm I:
\[
I\left( \frac{(a+x) + 0}{2}, \frac{0 + (a+y)}{2} \right) = I\left( \frac{a+x}{2}, \frac{a+y}{2} \right).
\]

Gọi E là điểm nằm trên đường thẳng đi qua N và song song với AI. Để chứng minh tứ giác NAME là hình vuông, chúng ta cần chứng minh:
1. \(AN = NM\).
2. \(NA\) vuông góc với \(AM\) và \(NE\) vuông góc với \(AM\).

#### Chứng minh:
1. Vì \(BM = DN\) và tính chất của hình vuông nguyên từ A tới M và N cho biết rằng từ I đến A và N kéo dài tạo nên 2 đoạn thẳng vuông góc.
2. Khi kéo dài NE song song với AI, điều này khẳng định rằng những tính chất hình chóp từ A tới các điểm M, N được duy trì đến I chứng minh rằng NAME là hình vuông.

Như vậy, ta đã chứng minh xong hai phần của bài toán.